[行列解析2.5.P39]ユニタリ行列の対称・歪対称構造と固有値

2.5.問題39
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2.5.問題39

2.5.P39

\(U \in M_{n}\) がユニタリとする。

このときすべての固有値の絶対値は1である。

(a)　\(U\) が対称なら、その固有値は (2.5.19.1) の表現を（対角成分の順列を除いて）一意に定めることを示せ。

(b)　\(U\) が歪対称なら、(2.5.19.2) の中の係数 \(e^{i\theta_{j}}\) が固有値とどう関係しているかを説明せよ。

なぜ \(U\) の固有値は \(\pm\) のペアで現れなければならないのかを示せ。

(2.5.19.2)

U \;=\; Q \Bigl( e^{i\theta_1}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \;\oplus\;\cdots\;\oplus\; e^{i\theta_{n/2}}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \Bigr) Q^{\top}

そして固有値が (2.5.19.2) の表現を直和成分の順列を除いて一意に定めることを示せ。

ヒント

ユニタリ行列の固有値はすべて絶対値 1 をもつ。

(a) では対称ユニタリ行列がユニタリ相似により対角化される事実を用いる。

(b) では歪対称性から固有値が 2 次元ブロックに対応して現れることと、複素共役対の構造に注目する。

解答例

まず \(U\) がユニタリであるから、\(U^{*}U = I\) が成り立ち、任意の固有値 \(\lambda\) に対して \(|\lambda|=1\) である。

(a) 　\(U\) が対称、すなわち \(U^{T}=U\) であるとする。このとき \(U\) は正規行列であるから、あるユニタリ行列 \(Q\) が存在して \(Q^{*}UQ=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\) と対角化される。さらに対称性より \(Q^{T}UQ=\mathrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\) が成り立つ。ここで \(|\lambda_{j}|=1\) であるから \(\lambda_{j}=e^{i\theta_{j}}\) と書ける。したがって \(U\) は (2.5.19.1) に現れる表現をもち、その対角成分は固有値によって（順列を除いて）一意に定まる。

(b) 　\(U\) が歪対称、すなわち \(U^{\top}=-U\) であるとする。このとき \(n\) は偶数であり、ある実直交行列 \(Q\) が存在して

U = Q \Bigl( e^{i\theta_1}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \oplus \cdots \oplus e^{i\theta_{n/2}}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \Bigr) Q^{\top}

と表される。各 \(2\times 2\) ブロック \(e^{i\theta}\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\) の固有値は \(\pm i e^{i\theta} = e^{i(\theta+\pi/2)}, e^{i(\theta-\pi/2)}\) であり、絶対値 1 をもつ複素数の \(\pm\) のペアとして現れる。

歪対称性 \(U^{\top}=-U\) から、もし \(\lambda\) が固有値であれば \(-\lambda\) も固有値となることが分かる。したがって固有値は必ず \(\pm\) のペアで現れ、これは上記の 2 次元ブロック分解と一致する。

以上より、歪対称ユニタリ行列の固有値は (2.5.19.2) における係数 \(e^{i\theta_{j}}\) を通じて一意に定まり、直和成分の順列を除けば表現は固有値によって一意に決まる。