2.5.P31
2.5.問題31
実正規行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\)、すなわち \(AA^{\top} = A^{\top}A\) とする。
もし \(AA^{\top}\) が \(n\) 個の異なる固有値をもつなら、\(A\) は対称行列であることを示せ。
ヒント
実正規行列 \(A\) は \(AA^{\top} = A^{\top}A\) を満たす。仮定より \(AA^{\top}\) は \(n\) 個の相異なる固有値をもつため，その固有ベクトルは直交基底をなす。\(AA^{\top}\) と \(A^{\top}A\) が一致することから，それらの固有空間と \(A\) の作用の関係を調べることが重要である。
\( A = A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
Q^\top A Q = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})
となることは同値である。
ここで、\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) は \( A \) の固有値である。
2つの実対称行列が実直交相似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
解答例
\(AA^{\top}\) は実対称行列であるから，直交行列 \(Q\) が存在して
Q^{\top}AA^{\top}Q = \operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})
と対角化できる。ここで \(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\) はすべて相異なると仮定する。すると，各固有値に対応する固有空間は一次元である。
一方，\(AA^{\top} = A^{\top}A\) であるから，\(AA^{\top}\) と \(A^{\top}A\) は同一の行列であり，同じ固有値と固有ベクトルをもつ。したがって，任意の固有ベクトル \(v\) に対して
AA^{\top}v = \lambda v
が成り立つとき，\(A^{\top}A v = \lambda v\) も成り立つ。固有空間が一次元であることから，\(Av\) と \(A^{\top}v\) はともに同じ固有空間に属し，比例関係にある。
しかし実正規行列に対しては \(\lVert Av\rVert = \lVert A^{\top}v\rVert\) が成り立つため，比例係数は \(1\) でなければならない。よって
Av = A^{\top}v
がすべての固有ベクトル \(v\) に対して成り立つ。これらの固有ベクトルは \(\mathbb{R}^{n}\) の基底をなすから，線形性より
A = A^{\top}
が従う。したがって，\(A\) は対称行列である。
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