[行列解析2.4.p34]2×2行列に対するケイリー・ハミルトン定理の検証

2.4.P34

2.4.問題34

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) に対して、明示的に計算をしてケイリー・ハミルトンの定理、

A^2 - (a + d) A + (ad - bc) I_2 = 0

を検証せよ。

まず \( A^2 \) を成分ごとに直接計算する。その結果を \( (a+d)A \) および \( (ad-bc)I_2 \) と比較し、差を取ることで零行列になることを確かめる。

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) とする。まず \( A^2 \) を計算する。

A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix}

次に \( (a+d)A \) を計算する。

(a+d)A = \begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^2 \end{pmatrix}

さらに \( (ad-bc)I_2 \) は \( (ad-bc)I_2 = \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \) である。

以上を用いて \( A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2 \) を計算すると、

A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

となる。したがって \( A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=0 \) が成り立ち、ケイリー・ハミルトンの定理が直接計算によって確認された。