2.4.P20
2.4.問題20
\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。
- \( p(0,0) = 0 \) のとき、\( A p(A,B) B = 0 \) であり、したがって \( (p(A,B) C)^2 = 0 \) であることを示せ。
- \( C^2 = 0 \) を示せ。
- (2.4.8.7) を用いて、\( A \) と \( B \) が同時に上三角化可能であることを示せ。
- 行列\( \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} \)と\(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)は同時に上三角化可能か？
ヒント
条件 \( AB = 0 \) から、\( A \) と \( B \) を含む積の多くが消えることに注意する。
非可換多項式 \( p(s,t) \) は \( s,t \) の積の和として表されるため、\( p(0,0)=0 \) の仮定を用いると各項の形が制限される。
さらに可換子 \( C = AB - BA \) の冪を調べ、既知の結果 定理(McCoy)(2.4.8.7) を適用する。
定理 2.4.8.7 (McCoy).
\(m \geq 2\) とし、\(A_1,\ldots,A_m \in M_n\) が与えられているとする。
次は同値である：
(a) 任意の \(m\) 個の非可換変数に関する多項式 \(p(t_1,\ldots,t_m)\) と任意の \(k,\ell=1,\ldots,m\) に対して、\(p(A_1,\ldots,A_m)(A_kA_\ell - A_\ell A_k)\) は冪零である。
(b) あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して、各 \(i=1,\ldots,m\) に対して \(U^*A_iU\) が上三角行列である。
(c) 各 \(i=1,\ldots,m\) に対して、その固有値の順序付け \(\lambda^{(i)}_1,\ldots,\lambda^{(i)}_n\) が存在して、任意の \(m\) 個の非可換変数に関する多項式 \(p(t_1,\ldots,t_m)\) に対して、\(p(A_1,\ldots,A_m)\) の固有値は\( p(\lambda^{(1)}_i, \ldots, \lambda^{(m)}_i), \quad i=1,\ldots,n \)で与えられる。
解答例
\( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とおく。
非可換多項式 \( p(s,t) \) が \( p(0,0)=0 \) を満たすとする。
このとき \( p(s,t) \) の各項は少なくとも一つ \( s \) または \( t \) を含む。
よって \( p(A,B) \) は \( A \) と \( B \) の積の和として表され、常に左側に \( A \)、右側に \( B \) を掛けると途中に \( AB \) が現れる。
仮定 \( AB = 0 \) より、 \( A \; p(A,B) \; B = 0 \) が成り立つ。
次に \( C = -BA \) を用いると、
p(A,B)C = -p(A,B)BA
となる。これを二乗すると、
(p(A,B)C)^2 = p(A,B)BAp(A,B)BA = p(A,B)B \, A p(A,B) \, B A
ここで既に示した \( A p(A,B) B = 0 \) を用いると、 \( (p(A,B)C)^2 = 0 \) が従う。
特に \( p(s,t) = 1 \) に対応する場合を考えると、
C^2 = (-BA)^2 = B A B A = B (AB) A = 0
となり、\( C^2 = 0 \) が示された。
ここで定理(McCoy)(2.4.8.7) より、可換子 \( C = AB - BA \) が冪零であるとき、\( A \) と \( B \) は同時に上三角化可能である。
上で \( C^2 = 0 \) を示したので、\( A \) と \( B \) は同時に上三角化可能である。
最後に行列 \( A = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) を考える。
直接計算すると、
AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
が成り立つ。したがって上の議論が適用でき、これらの行列は同時に上三角化可能である。
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