2.4.問題12
2.4.P12
行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) と交換子 \( C = AB - BA \) を考える。
この問題では、\( C \) が \( A \) または \( B \)、あるいは両方と交換する場合のいくつかの帰結を調べる。
\( C \) が \( A \) と交換するとき、なぜすべての \( k = 2, \ldots, n \) に対して
\mathrm{tr} C^k = \mathrm{tr}(C^{k-1}(AB - BA)) \\
= \mathrm{tr}(A C^{k-1} B - C^{k-1} B A) = 0
が成り立つか説明せよ。
さらに (2.4.P10) から Jacobson の補題を導け：\( C \) は \( A \) または \( B \) と交換するならば零行列的（nilpotent）である。
\( n=2 \) のとき、\( C \) が \( A \) と \( B \) の両方と交換することと、\( C = 0 \) （すなわち \( A \) と \( B \) が交換すること）が同値であることを示せ。
\( A \) が対角化可能ならば、\( C \) が \( A \) と交換することと \( C=0 \) が同値であることを示せ。
\( A, B \) が「準交換」(quasicommute) するとき（すなわち両方が \( C \) と交換する場合）、2つの非可換変数の任意の多項式 \( p(s,t) \) について、\( p(A,B) \) が \( C \) と交換することを示せ。
さらに (2.4.8.1) を用い、(a) の結果から \( p(A,B) C \) が零行列的であることを示せ。
\( A, B \) が準交換するとき、(2.4.8.7) を用いて \( A, B \) が同時に三角化可能であることを示せ。これは「小さなMcCoyの定理」として知られている。
\( n=2 \) とする。もし \( C \) が \( A \) と交換するならば、(3.2.P32) により \( A, B \)（したがって \( B, C \) も）同時に三角化可能である。
さらに、\( C^2=0 \) であることと \( A, B \) が同時に三角化可能であることは同値であることを示せ。
\( n=3 \) の場合は異なる。
行列
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}, \quad
B =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
について以下を示せ。
- \( A \) は \( C \) と交換するので、\( A \) と \( C \) は同時に三角化可能である。
- \( B \) は \( C \) と交換しない。
- \( B \) と \( C \)（ゆえに \( A \) と \( B \) も）は同時に三角化可能でない。
\( n=3 \) の場合、Laffey の別の定理によれば、\( A, B \) は同時に三角化可能であることと、\( C, AC^2, BC^2 \) と少なくとも一つが \( A^2 C^2, ABC^2, B^2 C^2 \) のいずれかが零行列的であることが同値である。
これより、\( C^2=0 \) なら \( A, B \) は同時三角化可能であることを導け。
さらに、\( C^3=0 \) が \( A, B \) の同時三角化可能性を保証しない例を示せ。
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