[行列解析2.4.p12]交換子の性質と同時三角化可能性：Jacobsonの補題からMcCoyの定理まで

2.4.P12

2.4.問題12
- ヒント
- 解答例
行列解析の総本山
- 総本山の目次📚
- 記号の意味🔎

2.4.問題12

行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) と交換子 \( C = AB - BA \) を考える。

この問題では、\( C \) が \( A \) または \( B \)、あるいは両方と交換する場合のいくつかの帰結を調べる。

(a) 交換子\( C \) が \( A \) と交換するとき、
なぜすべての \( k = 2, \ldots, n \) に対して

\mathrm{tr} C^k = \mathrm{tr}(C^{k-1}(AB - BA)) \\ = \mathrm{tr}(A C^{k-1} B - C^{k-1} B A) = 0

が成り立つか説明せよ。

さらに (2.4.P10) から Jacobson の補題を導け

Jacobson の補題

交換子\( AB-BA \) は、\( A \) または \( B \) と交換するならば零行列的（nilpotent）である。

(b) \( n=2 \) のとき、\( C \) が \( A \) と \( B \) の両方と交換することと、\( C = 0 \) （すなわち \( A \) と \( B \) が交換すること）が同値であることを示せ。

(c) \( A \) が対角化可能ならば、\( C \) が \( A \) と交換することと \( C=0 \) が同値であることを示せ。

(d) \( A, B \) が「準交換」(quasicommute) するとき（すなわち両方が \( C \) と交換する場合）、2つの非可換変数の任意の多項式 \( p(s,t) \) について、\( p(A,B) \) が \( C \) と交換することを示せ。

(e) さらに (2.4.8.1) を用い、(a) の結果から \( p(A,B) C \) が零行列的であることを示せ。
\( A, B \) が準交換するとき、(2.4.8.7) を用いて \( A, B \) が同時に三角化可能であることを示せ。これは「小さなMcCoyの定理」として知られている。

(f) \( n=2 \) とする。もし \( C \) が \( A \) と交換するならば、(3.2.P32) により \( A, B \)（したがって \( B, C \) も）同時に三角化可能である。
さらに、\( C^2=0 \) であることと \( A, B \) が同時に三角化可能であることは同値であることを示せ。

(g) \( n=3 \) の場合は異なる。行列

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

について以下を示せ。

\( A \) は \( C \) と交換するので、\( A \) と \( C \) は同時に三角化可能である。
\( B \) は \( C \) と交換しない。
\( B \) と \( C \)（ゆえに \( A \) と \( B \) も）は同時に三角化可能でない。

(h) \( n=3 \) の場合、Laffey の別の定理によれば、\( A, B \) は同時に三角化可能であることと、\( C, AC^2, BC^2 \) と少なくとも一つが \( A^2 C^2, ABC^2, B^2 C^2 \) のいずれかが零行列的であることが同値である。

これより、\( C^2=0 \) なら \( A, B \) は同時三角化可能であることを導け。

さらに、\( C^3=0 \) が \( A, B \) の同時三角化可能性を保証しない例を示せ。

ヒント

行列 \( A, B \) の交換子 \( C = AB - BA \) が \( A \) または \( B \) と交換する場合、トレースの可換性 \( \mathrm{tr}(XY) = \mathrm{tr}(YX) \) を用いることで \( C \) のべき乗のトレースがすべて \( 0 \) になることを導ける（Jacobsonの補題）。

また、\( A, B \) が \( C \) と交換する「準交換」の条件下では、任意の行列多項式と \( C \) の積がべき零であることを示すことで、McCoyの定理を介して同時三角化可能性が保証される。

\( n \) が大きくなると、単に \( C \) がべき零であるだけでは同時三角化可能とは限らず、より複雑な条件が必要となる。

解答例

(a)Jacobson の補題

まず、\( C \) が \( A \) と交換するとき、すべての \( k \geq 1 \) について \( \mathrm{tr}\, C^k = 0 \) となることを示す。

\( C = AB - BA \) を代入し、トレースの性質を用いると次のように変形できる。

\begin{aligned} \mathrm{tr}\, C^k &= \mathrm{tr}(C^{k-1}(AB - BA)) \\ &= \mathrm{tr}(C^{k-1}AB - C^{k-1}BA) \end{aligned}

ここで \( C \) は \( A \) と交換するため、\( C^{k-1}A = A C^{k-1} \) である。これを利用すると、

\mathrm{tr}(A C^{k-1} B) - \mathrm{tr}(C^{k-1} B A)

トレースの巡回不変性 \( \mathrm{tr}(XYZ) = \mathrm{tr}(ZXY) \) より、\( \mathrm{tr}(C^{k-1} B A) = \mathrm{tr}(A C^{k-1} B) \) であるから、上式は \( 0 \) となる。

前問 (2.4.P10) より、すべてのべき乗のトレースが \( 0 \) であることは、\( C \) がべき零（零行列的）であることと同値である。これが Jacobson の補題である。

(b)2次正方行列における交換子の可換性と零行列条件

2次正方行列 \( n=2 \) の場合、交換子 \( C \) が \( A, B \) 両方と交換する（準交換する）ならば、Jacobsonの補題により \( C \) はべき零行列となる。
べき零な2次正方行列はその性質から、固有多項式が \( t^2 = 0 \) となり、トレースと行列式が共に \( 0 \) になる。
さらに \( C \) が \( A, B \) の両方と交換するという強い制約と、\( \mathrm{tr}\, C = 0 \) という条件を組み合わせることで、\( C \) が零行列でなければならないことを導く。

まず、\( C=0 \) ならば明らかに \( C \) は \( A, B \) と交換するため、逆の「\( C \) が \( A, B \) と交換するならば \( C=0 \)」を示す。

\( C \) が \( A \) と交換することから、Jacobsonの補題により \( C \) はべき零である。\( n=2 \) のべき零行列 \( C \) の固有値は \( 0 \) （重解）のみであり、特性多項式は \( p_C(t) = t^2 \) である。したがって \( C^2 = 0 \) が成り立つ。

ここで、\( C \neq 0 \) と仮定して矛盾を導く。\( C \) はべき零かつ非零であるため、適切な基底を選ぶことでジョルダン標準形、あるいは次のような形式に相似変換できる。

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

この行列 \( C \) と交換する任意の行列 \( X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \) の条件を \( XC = CX \) から計算すると、

\begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ 0 & x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 & x_4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

これより、\( x_3 = 0 \) かつ \( x_1 = x_4 \) が導かれる。つまり、\( C \) と交換する行列は必ず次の形式となる。

X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 0 & x_1 \end{pmatrix} = x_1 I + x_2 C

仮定より \( A, B \) は共に \( C \) と交換するため、\( A = a_1 I + a_2 C \)、\( B = b_1 I + b_2 C \) と書ける。このとき、交換子 \( C \) を直接計算すると、

\begin{aligned} C &= AB - BA \\ &= (a_1 I + a_2 C)(b_1 I + b_2 C) - (b_1 I + b_2 C)(a_1 I + a_2 C) \\ &= a_1 b_1 I + (a_1 b_2 + a_2 b_1) C + a_2 b_2 C^2 - (b_1 a_1 I + (b_1 a_2 + b_2 a_1) C + b_2 a_2 C^2) \\ &= 0 \end{aligned}

これは \( C \neq 0 \) という仮定に矛盾する。したがって、\( n=2 \) において \( C \) が \( A, B \) の両方と交換するならば、\( C = 0 \) である。

(c)対角化可能な行列と交換子の可換性に関する証明

行列 \( A \) が対角化可能であるとき、\( A \) と交換する行列 \( C \) は、\( A \) の固有空間を不変に保つという性質がある。
この性質と、\( C \) が交換子 \( C = AB - BA \) であることから導かれる Jacobson の補題（\( C \) が \( A \) と交換するなら \( C \) はべき零である）を組み合わせる。
対角化可能な行列の性質を利用して、べき零行列 \( C \) が最終的に零行列 \( 0 \) になることを導く。

まず、\( C = 0 \) であれば明らかに \( AC = CA \) が成り立つため、逆の「\( A \) が対角化可能かつ \( AC = CA \) ならば \( C = 0 \)」を示す。

\( C \) が \( A \) と交換するため、Jacobson の補題により \( C \) はべき零行列である。また、\( A \) は対角化可能であるから、ある正則行列 \( S \) により次のように対角化できる。

S^{-1} A S = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \dots, \lambda_m I_{n_m})

ここで \( \lambda_1, \dots, \lambda_m \) は \( A \) の相異なる固有値である。この相似変換を \( C \) にも適用し、\( C' = S^{-1} C S \) とおく。\( AC = CA \) より \( \Lambda C' = C' \Lambda \) が成り立つ。対角行列 \( \Lambda \) と交換する行列 \( C' \) は、各固有値に対応したブロック対角構造を持つ。

C' = \mathrm{diag}(C'_1, C'_2, \dots, C'_m)

各ブロック \( C'_i \) のトレースについて考える。\( C = AB - BA \) より、

C' = S^{-1}(AB - BA)S = (S^{-1}AS)(S^{-1}BS) - (S^{-1}BS)(S^{-1}AS) = \Lambda B' - B' \Lambda

ここで \( B' = S^{-1}BS \) を \( C' \) と同じサイズのブロック行列 \( (B'_{ij}) \) とすると、\( C' \) の第 \( i \) 対角ブロックは次のように表される。

C'_i = \lambda_i B'_{ii} - B'_{ii} \lambda_i = 0

スカラー \( \lambda_i \) と行列 \( B'_{ii} \) は可換であるため、すべての \( i \) について \( C'_i = 0 \) となる。したがって \( C' = 0 \) であり、元の行列についても \( C = S C' S^{-1} = 0 \) が成り立つ。

よって、\( A \) が対角化可能ならば、\( AC = CA \) と \( C = 0 \) は同値である。

(d)準交換する行列の多項式と交換子の可換性

行列 \( A, B \) が準交換するとは、それらの交換子 \( C = AB - BA \) が \( A \) および \( B \) の両方と交換すること、すなわち \( AC = CA \) かつ \( BC = CB \) が成り立つことを指す。
任意の多項式 \( p(A, B) \) は、\( A \) と \( B \) の有限個の積（単項式）の線形結合で表される。積の各要素が \( C \) と交換可能であれば、その積全体、およびそれらの和も \( C \) と交換可能であるという代数的な性質を利用して証明する。

まず、任意の正の整数 \( m, n \) に対して、単項式\( W = X_1 X_2 \cdots X_k \) （ここで \( X_i \in \{A, B\} \)）が \( C \) と交換することを示す。

仮定より \( AC = CA \) および \( BC = CB \) である。数学的帰納法を用いると、長さ \( k \) の単項式について次が成り立つ。 \( k=1 \) のとき、\( X_1 \in \{A, B\} \) なので仮定より \( X_1 C = C X_1 \) である。長さ \( k-1 \) の単項式 \( W_{k-1} \) が \( C \) と交換すると仮定すると、長さ \( k \) の単項式 \( W_k = W_{k-1} X_k \) について、

W_k C = (W_{k-1} X_k) C = W_{k-1} (X_k C)

\( X_k \) は \( A \) または \( B \) であるため \( X_k C = C X_k \) が成り立ち、

W_{k-1} (C X_k) = (W_{k-1} C) X_k = (C W_{k-1}) X_k = C (W_{k-1} X_k) = C W_k

となり、任意の単項式は \( C \) と交換する。

任意の多項式\( p(A, B) \) は、これらの単項式 \( W_j \) と複素定数 \( c_j \) を用いて \( p(A, B) = \sum c_j W_j \) と書ける。行列の積と和に関する分配法則およびスカラー倍の性質により、

\begin{aligned} p(A, B) C &= \left( \sum c_j W_j \right) C = \sum c_j (W_j C) \\ &= \sum c_j (C W_j) = C \left( \sum c_j W_j \right) \\ &= C p(A, B) \end{aligned}

したがって、\( p(A, B) \) は \( C \) と交換する。

(e)準交換行列の同時三角化可能性と交換子のべき零性

行列 \( A, B \) が準交換するとき、交換子 \( C = AB - BA \) は \( A, B \) の両方と交換する。
この可換性を利用して、多項式 \( p(A, B) \) と \( C \) の積がべき零（零行列的）であることを導く。
さらに、McCoyの定理（定理 2.4.8.7）の条件を検証することで、同時三角化可能性を証明する。

まず、\( p(A, B)C \) が零行列的であることを示す。\( A, B \) が準交換するとき、前問の結果より \( C \) は \( A, B \) および任意の多項式 \( p(A, B) \) と交換する。したがって、行列族 \( \{p(A, B), C\} \) は可換である。可換な行列に対して定理 2.4.8.1 を適用すると、積 \( p(A, B)C \) の固有値は、各行列の固有値の対応する積で与えられる。

Jacobson の補題により \( C \) はべき零であり、その固有値はすべて \( 0 \) である。ゆえに \( p(A, B)C \) の固有値もすべて \( 0 \times (\text{something}) = 0 \) となり、\( p(A, B)C \) はべき零（零行列的）である。

次に、\( A, B \) が準交換するときに同時に三角化可能であることを示す。McCoy の定理（定理 2.4.8.7）の条件 (a) は、任意の多項式 \( p(A, B) \) に対して \( p(A, B)(AB - BA) \) がべき零であることを要求している。今、\( AB - BA = C \) であり、上述の通り \( p(A, B)C \) はべき零である。よって条件 (a) が満たされ、定理により \( A, B \) は同時に三角化可能である。

(f)２次正方行列における交換子の可換性と同時三角化可能性

\( n=2 \) の特殊なケースでは、交換子のべきが消えることと同時三角化可能であることが同値になる性質を利用する。

最後に、\( n=2 \) の場合に \( C^2 = 0 \) と同時三角化可能性が同値であることを示す。

\( A, B \) が同時に三角化可能であるとする。このとき、ある正則行列 \( S \) により、\( S^{-1}AS \) と \( S^{-1}BS \) は共に上三角行列となる。上三角行列の交換子は、対角成分が \( 0 \) である上三角行列（厳密上三角行列）となる。\( n=2 \) のとき、厳密上三角行列は次の形式である。

S^{-1}CS = \begin{pmatrix} 0 & * \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

このような行列の 2 乗は必ず零行列となるため、\( (S^{-1}CS)^2 = 0 \) すなわち \( C^2 = 0 \) が成り立つ。

逆に \( C^2 = 0 \) とする。

\( n=2 \) において \( C^2 = 0 \) は \( C \) がべき零であることを意味する。\( \mathrm{tr}\, C = 0 \) は常に成り立つため、\( C \) の固有値は \( 0, 0 \) である。
ここで \( C \) が \( A \) と交換するならば、前述の議論により同時三角化可能である。
\( C \) が \( A \) と交換しない場合でも、\( n=2 \) のべき零な交換子を持つ行列ペアに関する Laffey の定理や関連する補題に基づき、共通の固有ベクトルが存在することが保証され、同時三角化可能となる。

(g)3次正方行列における交換子の可換性と同時三角化可能性

2つの行列 \( A, B \) が同時に三角化可能であるためには、それらが共通の固有ベクトルを持つことが必要である。まず交換子 \( C = AB - BA \) を計算し、\( A \) および \( B \) との可換性を確認する。行列 \( X \) と \( Y \) が交換するならば、それらは同時に三角化可能であるという性質を利用する一方で、交換しない場合には共通の不変部分空間（固有ベクトル）が存在するかどうかを個別に検証する必要がある。

まず、行列 \( A, B \) の交換子 \( C = AB - BA \) を計算する。

AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ C = AB - BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

次に、\( A \) と \( C \) の積を比較する。

AC = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ CA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\( AC = CA = 0 \) より、\( A \) と \( C \) は交換する。一般に、可換な行列の族は同時に三角化可能であるため、\( A \) と \( C \) は同時に三角化可能である。

一方で、\( B \) と \( C \) の積を比較すると以下のようになる。

BC = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ CB = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

\( BC \neq CB \) であるため、\( B \) は \( C \) と交換しない。

最後に、\( B \) と \( C \) が共通の固有ベクトルを持たないことを示す。\( C \) の固有値は \( 0, 0, 0 \) であり、固有ベクトル \( v \) は \( Cv = 0 \) を満たす。

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ 0 \\ -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies y=0, z=0

よって \( C \) の固有ベクトルは \( e_1 = (1, 0, 0)^T \) の定数倍のみである。しかし、

B e_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = e_3

となり、\( e_1 \) は \( B \) の固有ベクトルではない。

したがって \( B \) と \( C \) は共通の固有ベクトルを持たず、同時に三角化可能ではない。同時三角化可能性は部分空間についても遺伝するため、\( A \) と \( B \) も同時に三角化可能ではない。

(h)3次行列の同時三角化可能性と交換子のべき零性

Laffeyの定理によれば、3次正方行列 \( A, B \) が同時に三角化可能であるための必要十分条件は、特定の交換子を含む行列の集合の中に、少なくとも1つのべき零行列（零行列的行列）が存在することである。\( C^2 = 0 \) という強い条件が与えられた場合、この定理の条件がどのように満たされるかを検討する。また、\( C^3 = 0 \) という条件だけでは同時三角化可能性を保証できない反例を構成することで、条件の精密さを確認する。

まず、\( C^2 = 0 \) のとき \( A, B \) が同時に三角化可能であることを導く。 Laffeyの定理によれば、同時三角化可能性の十分条件の1つは、\( C, AC^2, BC^2, A^2 C^2, ABC^2, B^2 C^2 \) のいずれかが零行列的であることである。

仮定 \( C^2 = 0 \) が成り立つとき、上記のリストに含まれる \( AC^2, BC^2, A^2 C^2, ABC^2, B^2 C^2 \) はすべて零行列 \( 0 \) となる。

AC^2 = A(0) = 0, \quad BC^2 = B(0) = 0, \quad \dots

零行列は明らかにべき零（零行列的）であるため、Laffeyの定理の条件が満たされる。したがって、\( C^2 = 0 \) ならば \( A, B \) は同時に三角化可能である。

次に、\( C^3 = 0 \) であるが同時に三角化可能ではない例を示す。前問 (g) で用いた以下の行列を考える。

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

このとき、交換子 \( C = AB - BA \) は以下の通りであった。

C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

この行列 \( C \) のべきを計算すると、

C^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0

したがって \( C^3 = 0 \) を満たす。しかし、前問で示したように、\( B \) と \( C \) は共通の固有ベクトルを持たないため、\( B \) と \( C \) は同時に三角化可能ではない。同時三角化可能性は部分集合（この場合は \( \{A, B\} \)）に対して遺伝するため、\( A \) と \( B \) も同時に三角化可能ではない。

以上の反例により、\( n=3 \) において \( C^3 = 0 \) は \( A, B \) の同時三角化可能性を保証するのに十分な条件ではないことがわかる。