[行列解析2.3.p9]

2.3.問題9

2.3.P9

\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) とし、\( Ax = \lambda x \) を満たす非零ベクトル \( x \)、
任意の \( y \in \mathbb{C}^n \)、およびスカラー \( \alpha \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。

次の補題の詳細を示せ：

\tilde{A} =
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix}
\in M_{n+1}

このとき、\( \tilde{A} \) の固有値は次の 2×2 行列の固有値と \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) である：

\begin{bmatrix}
\alpha & y^*x \\
1 & \lambda
\end{bmatrix}

ここで、\( x/\|x\|_2 \) を第1列とするユニタリ行列 \( U \) を構成し、\( V = [1] \oplus U \) として
\( V^* \tilde{A} V = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & C \end{bmatrix} \) を示せ。
\( B \in M_2 \) は上記のスケーリング後の 2×2 行列、\( C \in M_{n-2} \) は固有値 \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) を持つとする。
特に \( y \perp x \) のとき、\( \tilde{A} \) の固有値は \( \alpha, \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) となる。

また、次の 2つの行列の固有値が等しいことを説明せよ：

\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix},
\quad
\begin{bmatrix}
A & x \\
y^* & \alpha
\end{bmatrix}

[行列解析2.3]ユニタリおよび実直交三角化

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2025.08.23