[行列解析2.1.p29]直交行列の平面回転と対角行列による分解

2.1.ｐ29

2.1.問題29

任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できる理由を説明せよ：

Q = U_1 \cdots U_N D \quad (N = n(n-1)/2)

ここで、各 \( U_i \) は平面回転行列、\( D = \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, \det Q) = \mathrm{diag}(1, \ldots, 1, \pm 1) \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。

平面回転行列（Givens回転）を積み重ねると、任意の実行列を上三角化できることを利用する。

前問と同様に、\( N=n(n-1)/2 \) 個の平面回転により上三角行列を得る。

その上で、もとの行列が直交行列であることを使うと、得られた上三角行列が直交行列でもあるため、結果として対角行列であり、対角成分はすべて \( \pm 1 \) になることがわかる。

最後に行列式の符号を分離することで、指定された形の対角行列を取り出す。

まず任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) を考える。

前問と同様の議論より、有限個の平面回転行列 \( U_1,\ldots,U_N \) を用いて、

U_N \cdots U_1 Q = R

となる上三角行列 \( R \) を構成できる。

ここで \( N = n(n-1)/2 \) である。また各 \( U_i \) は直交行列である。

よって左辺は直交行列の積であり直交行列であるから、右辺の \( R \) も直交行列である。

次に、上三角行列 \( R \) が直交行列であることの意味を調べる。

直交性より

R^{\mathsf{T}} R = I

が成り立つ。

ここで \( R \) は上三角であり、\( R^{\mathsf{T}} \) は下三角である。

積 \( R^{\mathsf{T}}R \) が単位行列になるためには、非対角成分がすべて0でなければならない。

この条件から、上三角行列の非対角成分はすべて0になることがわかり、したがって \( R \) は実際には対角行列である。

さらに対角成分 \( r_{ii} \) については、直交性より各列のノルムが1であることから

r_{ii}^2 = 1

が成り立つ。したがって

r_{ii} = \pm 1 \quad (i=1,\ldots,n)

である。よって \( R \) は \( \pm 1 \) を対角成分にもつ対角行列である。

上式を変形すると

Q = U_1 \cdots U_N R

を得る。ここで

\det Q = \pm 1

であることから、対角行列 \( R \) の対角成分の符号の積も \( \pm 1 \) となる。そこで最後の1つの対角成分にこの符号を集める形に整理し、

D = \mathrm{diag}(1,\ldots,1,\det Q)

と書くと、残りの符号は平面回転行列の組み替えに吸収できる。したがって最終的に

Q = U_1 \cdots U_N D \qquad (N = \frac{n(n-1)}{2})

と表せる。

このとき各 \( U_i \) は平面回転行列であり、\( D \) は指定された形の対角行列である。これで主張は示された。