2.1.問題28
2.1.問題28
実行列 \( A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) （\( n \geq m \)）について：
(a) 有限個の平面回転行列 \( U_1, \ldots, U_N \) を構成し、
U_N \cdots U_1 A =
\begin{bmatrix}
B \\
0
\end{bmatrix}
とし、ここで \( B = [b_{ij}] \in M_m(\mathbb{R}) \) は上三角行列、各対角成分 \( b_{11}, \ldots, b_{m-1,m-1} \) は非負であることを説明してください。
(b) この上三角行列への変換が、\( N = m(n - m + 1)/2 \) 個の平面回転で可能である理由を説明してください。ただし、いくつかは恒等変換である場合があり、非自明な回転は \( N \) 未満でもよいことに注意してください。
(c) (a) を用いて、任意の実正方行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できることを証明してください：
A = U_1 \cdots U_N R \quad (N = n(n-1)/2)
ここで、各 \( U_i \) は平面回転、\( R = [r_{ij}] \) は上三角行列、\( r_{11}, \ldots, r_{n-1,n-1} \) は非負（ただし必ずしも \( r_{nn} \) ではない）です。
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