2.1.12例
例 2.1.12. ハウスホルダー行列.
\( w \in \mathbb{C}^n \) をゼロでないベクトルとする。ハウスホルダー行列 \( U_w \in M_n \) は次のように定義される：
U_w = I - 2 (w^* w)^{-1} w w^* .
もし \( w \) が単位ベクトルならば、次のように簡略化される：
U_w = I - 2 w w^* .
練習問題.
ハウスホルダー行列 \( U_w \) がユニタリかつエルミートであり、したがって \( U_w^{-1} = U_w \) となることを示せ。
練習問題.
\( w \in \mathbb{R}^n \) をゼロでないベクトルとする。
このときハウスホルダー行列 \( U_w \) が実直交かつ対称であることを示せ。
また、なぜ \( U_w \) の固有値は必ず \( +1 \) または \( -1 \) であるのかを説明せよ。
練習問題.
ハウスホルダー行列 \( U_w \) が部分空間 \( w^\perp \) では恒等作用素として働き、ベクトル \( w \) によって張られる1次元部分空間では反射として働くことを示せ。
すなわち、\( x \perp w \) ならば \( U_w x = x \) であり、\( U_w w = -w \) である。
練習問題.
(0.8.5.11) を用いて、すべての \( n \) に対して \(\det U_w = -1\) であることを示せ。
したがって、任意の \( n \) と任意のゼロでない \( w \in \mathbb{R}^n \) に対して、ハウスホルダー行列 \( U_w \in M_n(\mathbb{R}) \) は実直交行列であるが、その行列式は \( +1 \) ではなく、決して正の回転行列（行列式が \( +1 \) の実直交行列）にはならない。
練習問題.
(1.2.8) を用いて、ハウスホルダー行列の固有値が常に \( -1, 1, \ldots, 1 \) であり、その行列式が常に \( -1 \) であることを説明せよ。
練習問題.
\( n \geq 2 \) かつ \( x, y \in \mathbb{R}^n \) を単位ベクトルとする。もし \( x = y \) ならば、\( x \) に直交する任意の実単位ベクトル \( w \) を選べ。
もし \( x \neq y \) ならば、\( w = x - y \) とせよ。
このとき \( U_w x = y \) であることを示せ。
結論として、任意の \( x \in \mathbb{R}^n \) は実ハウスホルダー行列によって、同じユークリッドノルムを持つ任意の \( y \in \mathbb{R}^n \) に変換できることがわかる。
練習問題.
複素数体の場合は事情が異なる。すなわち、\( \mathbb{C}^n \) においては、\( U_w e_1 = i e_1 \) となるような \( w \in \mathbb{C}^n \) は存在しないことを示せ。
ハウスホルダー行列とユニタリなスカラー行列を組み合わせることで、\( \mathbb{C}^n \) の任意のベクトルを、同じユークリッドノルムを持つ他の任意のベクトルに写すユニタリ行列を構成することができる。
コメント