2.1.5
定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）
線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x\|_2 = \|Tx\|_2 \) を満たすとき、ユークリッド等距変換（Euclidean isometry）と呼ばれます。
定理2.1.4は、複素正方行列 \( U \in M_n \) が \( x \mapsto Ux \) によってユークリッド等距変換となるのは、\( U \) がユニタリ行列である場合に限ることを示しています。
その他の種類の等距変換については、(5.4.P11–13)を参照してください。
演習問題
以下の行列を考えます：
U_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ここで \( \theta \) は実数パラメータとします。
(a) \( U \in M_2(\mathbb{R}) \) が実直交行列であることと、ある \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して \( U = U_\theta \) または
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} U_\theta であることが同値であることを示しなさい。
(b) \( U \in M_2(\mathbb{R}) \) が実直交行列であることと、ある \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して \( U = U_\theta \) または
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} U_\thetaであることが同値であることを示しなさい。
これらは、実数 2×2 の直交行列を、パラメータ \( \theta \) を用いて表す2つの異なる方法です。
これらの幾何学的意味を解釈してください。
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