2.1.2
定理 2.1.2
任意の直交正規なベクトル列は線形独立である。
証明
\( \{x_1, \ldots, x_k\} \) が直交正規であると仮定し、次のような線形結合がゼロになるとする：
0 = \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k
両辺の共役転置との内積をとると、
0
= (\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k)^* (\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k) \\
= \sum_{i,j} \bar{\alpha}_i \alpha_j x_i^* x_j
= \sum_{i=1}^k |\alpha_i|^2 x_i^* x_i
= \sum_{i=1}^k |\alpha_i|^2 よって、すべての \( \alpha_i = 0 \) であり、ベクトル列は線形独立である。
練習問題
- 非ゼロの直交ベクトル列は線形独立であることを示せ。
- 直交するベクトル \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( k \leq n \) または少なくとも \( k - n \) 個のベクトルがゼロベクトルであることを示せ。
線形独立なベクトル列が必ずしも直交正規であるとは限らないが、グラム・シュミットの直交化法（0.6.4）を適用することで、同じ線形包に属する直交正規列を得ることができる。
練習問題
任意のゼロでない部分空間（\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \)）は、直交正規基底を持つことを示せ（0.6.5）。
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