[行列解析1.3.P24]余弦行列の固有値の決定

1.3.P24

1.3.問題24
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1.3.問題24

整数 \(n \geq 3\) に対し、\(\theta = \frac{2\pi}{n}\) とおく。

行列 \(A = [\cos(j\theta + k\theta)]_{j,k=1}^n \in M_n(\mathbb{R})\) を考える。

このとき

x =\begin{bmatrix} \alpha^{\;} \\ \alpha^2 \\ \vdots \\ \alpha^n\end{bmatrix} \quad y = \begin{bmatrix} \alpha^{-1} \\ \alpha^{-2} \\ \vdots \\ \alpha^{-n}\end{bmatrix} \quad \alpha = e^{2\pi i/n}

A =\begin{bmatrix}x \; y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \; y \end{bmatrix} ^{\top} = \begin{bmatrix} \alpha^{\;} & \alpha^{-1} \\ \alpha^2 & \alpha^{-2} \\ \vdots & \vdots \\ \alpha^n & \alpha^{-n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha^{\;} & \alpha^2 & \dots & \alpha^n\\ \alpha^{-1} & \alpha^{-2} & \dots & \alpha^{-n} & \end{bmatrix}

を満たす。

A =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}x \; y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \; y \end{bmatrix} ^{\top}

\(A\) の固有値は \(n/2\)、\(-n/2\)、および \(0\) が \(n-2\) 個であることを示せ。

ヒント

行列 \( A \) は \( A =\frac{1}{2} [x\;y][x\;y]^{\top} \) と表されているため、階数は高々 \(2\) である。したがって固有値のうち \(n-2\) 個は \(0\) である。

非零固有値は、\(2 \times 2\) 行列 \( [x\;y]^{\top}[x\;y] \) の固有値から求めることができる。

解答例

仮定より \( A = \frac{1}{2} [x\;y][x\;y]^{\top} \) と書ける。ここで \( [x\;y] \in M_{n,2}(\mathbb{C}) \) であるから、行列 \( A \) の階数は高々 \(2\) である。したがって、固有値のうち少なくとも \(n-2\) 個は \(0\) である。

残りの非零固有値は、一般論より、行列 \( [x\;y]^{\top}[x\;y] \) の固有値と一致する。そこで

[x\;y]^{\top}[x\;y] = \begin{pmatrix} x^{\top}x & x^{\top}y \\ y^{\top}x & y^{\top}y \end{pmatrix}

を計算する。定義より \( x_j = \alpha^{j} \)、\( y_j = \alpha^{-j} \) であり、\( \alpha^n = 1 \) かつ \( n \ge 3 \) であるから、

x^{\top}x = \sum_{j=1}^n \alpha^{2j} = 0,\quad y^{\top}y = \sum_{j=1}^n \alpha^{-2j} = 0,\quad x^{\top}y = \sum_{j=1}^n 1 = n

が成り立つ。したがって

[x\;y]^{\top}[x\;y] = \begin{pmatrix} 0 & n \\ n & 0 \end{pmatrix}

となる。この行列の固有値は容易に \( n \) と \( -n \) である。

一方、もとの行列 \( A \) は実対称行列であり、定義により \( A = \frac{1}{2}[x\;y][x\;y]^{\top} \) とみなせるので、固有値は上で得られた値の半分となる。よって、\( A \) の非零固有値は \( n/2 \) と \( -n/2 \) である。

以上より、行列 \( A \) の固有値は \( n/2 \)、\( -n/2 \)、および \( 0 \) が \( n-2 \) 個であることが示された。

補足

まず、行列 \(A\) の各成分をオイラーの公式 \(\cos \phi = \frac{e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2}\) を用いて複素指数関数で書き下ろす。問題文で与えられた通り、\(A\) は \(n \times 2\) 行列 \(B = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}\) を用いて \(A = \frac{1}{2} B B^{\top}\) と表現できる。このとき、\(A\) の 0 でない固有値は、サイズが小さい \(2 \times 2\) 行列 \(\frac{1}{2} B^{\top} B\) の固有値と一致することを利用する。

与えられた行列 \(A\) の成分 \(a_{jk}\) は、次のように変形できる。

a_{jk} = \cos(j\theta + k\theta) = \frac{e^{i(j+k)\theta} + e^{-i(j+k)\theta}}{2} = \frac{\alpha^j \alpha^k + \alpha^{-j} \alpha^{-k}}{2}

ここで、ベクトル \(x, y\) を用いて行列 \(B = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}\) とおくと、\(A = \frac{1}{2} B B^{\top}\) と書ける。\(A\) の \(0\) でない固有値は、\(C = \frac{1}{2} B^{\top} B\) の固有値と重複度を含めて一致する。行列 \(C\) を具体的に計算すると以下のようになる。

C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} x^{\top}x & x^{\top}y \\ y^{\top}x & y^{\top}y \end{bmatrix}

各成分を計算する。\(n \geq 3\) より \(\alpha^2 = e^{4\pi i/n} \neq 1\) であるから、等比数列の和の公式より以下が成り立つ。

x^{\top}x = \sum_{j=1}^n \alpha^{2j} = \frac{\alpha^2(1 - \alpha^{2n})}{1 - \alpha^2} = 0, \quad y^{\top}y = \sum_{j=1}^n \alpha^{-2j} = 0

また、\(\alpha \alpha^{-1} = 1\) より、内積は次のようになる。

x^{\top}y = y^{\top}x = \sum_{j=1}^n \alpha^j \alpha^{-j} = \sum_{j=1}^n 1 = n

したがって、行列 \(C\) は次のように定まる。

C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & n \\ n & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & n/2 \\ n/2 & 0 \end{bmatrix}

この行列 \(C\) の固有方程式は \(\lambda^2 - (n/2)^2 = 0\) であり、固有値は (\lambda = \pm n/2) である。\(A\) のランクは高々 2 であり、\(n \times n\) 行列であるため、残りの \(n-2\) 個の固有値はすべて 0 となる。以上により、\(A\) の固有値は \(n/2, -n/2\), および \(0\)（\(n-2\) 個）であることが示された。