1.3.問題20
1.3.P20
任意の \( A, B \in M_n \) を、\( A = A_1 + i A_2 \)、\( B = B_1 + i B_2 \) と表す。ただし \( A_1, A_2, B_1, B_2 \in M_n(\mathbb{R}) \) であるとする。次を定義する。
R_1(A) =
\begin{pmatrix}
A_1 & -A_2 \\
A_2 & A_1
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
次を示せ。
(a) \( R_1(A + B) = R_1(A) + R_1(B) \)、\( R_1(AB) = R_1(A) R_1(B) \)、および \( R_1(I_n) = I_{2n} \) が成り立つ。
(b) \( A \) が正則ならば、\( R_1(A) \) も正則であり、\( R_1(A)^{-1} = R_1(A^{-1}) \)、さらに
R_1(A)^{-1} =
\begin{pmatrix}
X & Y \\
-Y & X
\end{pmatrix}
は \( R_1(A) \) と同じブロック構造を持つ。
(c) \( S \) が正則ならば、\( R_1(SAS^{-1}) = R_1(S) R_1(A) R_1(S)^{-1} \) が成り立つ。
(d) \( A \) と \( B \) が相似ならば、\( R_1(A) \) と \( R_1(B) \) も相似である。
\( A \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とし、
S = \begin{pmatrix}
I_n & 0 \\
i I_n & I_n
\end{pmatrix},
\quad
U = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
I_n & i I_n \\
i I_n & I_n
\end{pmatrix}
とする。このとき次を示せ。
(e) \( S^{-1} = \overline{S} \) および \( U^{-1} = \overline{U} = U^* \) が成り立つ。
(f) 次が成り立つ：
S^{-1} R_1(A) S =
\begin{pmatrix}
A & -A_2 \\
0 & \overline{A}
\end{pmatrix},
\quad
U^{-1} R_1(A) U =
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & \overline{A}
\end{pmatrix}
(g) \( R_1(A) \) の固有値は \( A \oplus \overline{A} \) の固有値と同じであり、それは \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \overline{\lambda_1}, \ldots, \overline{\lambda_n}\) である（より正確な記述は (1.3.P30) を参照）。
(h) \(\det R_1(A) = |\det A|^2 \ge 0\)、および \(\mathrm{rank}\, R_1(A) = 2 \, \mathrm{rank}\,A\) が成り立つ。
(i) \( R_1(A) \) が正則ならば、\( A \) も正則である。
(j) \( i I_n \) は \(-i I_n\) に相似ではないが、\( R_1(i I_n) \) は \( R_1(-i I_n) \) に相似である。したがって (d) の逆は一般には成り立たない。
(k) \( p_{R_1(A)}(t) = p_A(t) \, p_{\overline{A}}(t) \) が成り立つ。
(l) \( R_1(A^*) = R_1(A)^T \) である。したがって、\( A \) がエルミート行列であることと、\( R_1(A) \) が（実）対称行列であることは同値であり、\( A \) がユニタリ行列であることと、\( R_1(A) \) が実直交行列であることも同値である。
(m) \( A \) が \( A^* \) と可換であることと、\( R_1(A) \) が \( R_1(A)^T \) と可換であることは同値、すなわち複素行列 \( A \) が正規行列であることと、実行列 \( R_1(A) \) が正規行列であることは同値である（(2.5) 参照）。
(n) \( M_{2n}(\mathbb{R}) \) において、\( R_1(A) \) のブロック構造を持つ行列を複素型行列（matrix of complex type）という。
次を定義する：
S_{2n} =
\begin{pmatrix}
0_n & I_n \\
- I_n & 0_n
\end{pmatrix}
\( A \in M_{2n}(\mathbb{R}) \) が複素型行列であることと、\( S_{2n} A = A S_{2n} \) が成り立つことは同値である。
この恒等式から、実複素型行列の逆行列も複素型行列であり、複素型行列同士の積もまた複素型行列であることを導け。
ブロック行列 \( R_1(A) \) は \( A \) の実表現（real representation）の一例である。
複素表現（complex representation）への一般化、別名四元数型行列（matrix of quaternion type）については (4.4.P29) を参照。
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