[行列解析1.3.30]系 1.3.30.

系 1.3.30.

\( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R}) \) を、実固有値を持つ実対角化可能行列の族とする。

このとき、\( F \) が可換族であることは、正則実行列 \( T \) が存在して、すべての \( A_\alpha \in F \) に対して \( T^{-1} A_\alpha T = \Lambda_\alpha \) が対角行列であることと同値である。

さらに、任意の \(\alpha_0 \in I\) および \( A_{\alpha_0} \) の固有値の任意の順序 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) に対して、正則実行列 \( T \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して

T^{-1} A_{\alpha_0} T = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

かつすべての \(\alpha \in I\) に対して \( T^{-1} A_\alpha T \) が対角行列となる。

「必要条件」の主張は、前の定理を行列族 \( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \) と \( G = \{ \Lambda_\alpha : \alpha \in I \} \) に適用することで示される。

「十分条件」の主張は (1.3.21) と同様に従う。

相似に関する最後の定理は、複素行列における固有値と主対角成分との間にある唯一の関係が、それぞれの総和が等しいことであることを示している。

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