[行列解析1.3.28]

補題 1.3.28.

\( S \in M_n \) を正則行列とし、\( S = C + iD \) と表す。ただし \( C, D \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。

このとき、ある実数 \(\tau\) が存在して、\( T = C + \tau D \) が正則となる。

\( C \) が正則ならば、\(\alpha = 0\) を取ればよい。

もし \( C \) が特異である場合、次の多項式を考える：

p(t) = det(C + t D)

これは定数多項式（次数 0）ではない。なぜなら \( p(0) = \det C = 0 \neq \det S = p(i) \) だからである。

複素平面上で多項式 \( p(t) \) の根は有限個しかないため、ある実数 \(\tau\) が存在して \( p(\tau) \neq 0 \) となり、したがって \( C + \tau D \) は正則である。