[行列解析1.3.26]

例 1.3.26.

任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実反対称テプリッツ行列を考える。

A = [\, i - j \,]_{i,j=1}^{n} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & \cdots \\ 1 & 0 & -1 & \cdots \\ 2 & 1 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = v e^{T} - e v^{T} = [\, v \; -e \,][\, e \; v \,]^{T}

ここで、\( e \in \mathbb{R}^n \) のすべての成分は 1 であり、\( v = [\, 1 \; 2 \; \dots \; n \,]^{T} \) である。

\( n - 2 \) 個の 0 を除けば、\( A \) の固有値は次の行列 \( B \) の固有値と同じである。

B = [\, e \; v \,]^{T} [\, v \; -e \,] = \begin{bmatrix} e^{T} v & - e^{T} e \\ v^{T} v & - v^{T} e \end{bmatrix}

(1.2.4b) を再び用いると、\( B \) の固有値は

\pm \frac{n i}{2} \sqrt{\frac{n^{2} - 1}{3}}

定理 1.3.22（\( AB \) と \( BA \) の固有値の関係）は話の一部に過ぎない。

この話の続きは (3.2.11) で扱う。

もし \( A \in M_{n} \) が対角化可能であり \( A = S \Lambda S^{-1} \) であるならば、任意の \( a \neq 0 \) に対して \( aS \) もまた \( A \) を対角化する。

したがって、対角化を行う相似変換は一意ではない。

しかし、特定の対角行列への相似変換は、ある1つの既知の相似変換からすべて得られる。