[行列解析1.3.22]定理 1.3.22.

定理 1.3.22.

\( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \) 個の固有値と \( n - m \) 個の 0 から構成される。すなわち、

p_{BA}(t) = t^{\,n-m} \, p_{AB}(t)

が成り立つ。また、\( m = n \) かつ \( A \) または \( B \) の少なくとも一方が正則ならば、\( AB \) と \( BA \) は相似である。

次の計算を行うと、

\begin{pmatrix} I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} AB & 0 \\ B & 0_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0_m & 0 \\ B & BA \end{pmatrix}

となる。

そして前の演習結果から、次の 2 つの行列

C_1 = \begin{pmatrix} AB & 0 \\ B & 0_n \end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix} 0_m & 0 \\ B & BA \end{pmatrix}

は相似である。

\( C_1 \) の固有値は \( AB \) の固有値と \( n \) 個の 0 であり、\( C_2 \) の固有値は \( BA \) の固有値と \( m \) 個の 0 である。

\( C_1 \) と \( C_2 \) の固有値は一致するので、定理の最初の主張が従う。

最後の主張は、\( m = n \) かつ \( A \) が正則であれば

AB = A (BA) A^{-1}

が成り立つという観察から得られる。