2.3 ユニタリおよび実直交三角化
初等的な行列理論において最も本質的に有用な事実の1つは、I. Schur による定理です。それによると、任意の正方複素行列 \( A \) は、任意の順序で \( A \) の固有値を対角成分にもつ三角行列とユニタリに相似である、というものです。ここでは、ユニタリ相似変換による段階的な縮小（デフレーション）を用いた証明を行います。
定理 2.3.1（シュールの標準形；シュール三角化）
任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) と、次を満たす単位ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) を考えます：
\( Ax = \lambda_1 x \)
ユニタリ行列 \( U = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \in \mathbb{M}_n \) が存在し、
U^* A U = T = [t_{ij}]
となって、\( T \) は上三角行列であり、対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が実固有値しか持たないならば、\( x \) は実ベクトルとして選ぶことができ、実直交行列 \( Q = [x\ q_2\ \dots\ q_n] \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
Q^T A Q = T = [t_{ij}]
が成り立ち、\( T \) は上三角行列で対角成分は \( t_{ii} = \lambda_i,\ i = 1, \dots, n \) である。
証明
\( x \) を固有値 \( \lambda_1 \) に対応する正規化された固有ベクトルとします。すなわち、
\( x^* x = 1 \) かつ \( Ax = \lambda_1 x \)
とします。\( x \) を第1列とする任意のユニタリ行列 \( U_1 = [x\ u_2\ \dots\ u_n] \) を考えます。たとえば、(2.1.13) 式のように \( U_1 = U(x, e_1) \) を取ることもできますし、練習問題 2.3.P1 のようにしても構いません。このとき、
U_1^* A U_1 = U_1^* [Ax\ Au_2\ \dots\ Au_n]
となります。\( Ax = \lambda_1 x \) なので、
=U_1^* [\lambda_1 x\ Au_2\ \dots\ Au_n]
さらに、
\begin{bmatrix}
x^* \\
u_2^* \\
\vdots \\
u_n^*
\end{bmatrix}
[\lambda_1 x\ Au_2\ \dots\ Au_n]
=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 x^* x & x^* A u_2 & \cdots & x^* A u_n \\
\lambda_1 u_2^* x & u_2^* A u_2 & \cdots & u_2^* A u_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_1 u_n^* x & u_n^* A u_2 & \cdots & u_n^* A u_n
\end{bmatrix}
となり、直交性により \( x^* x = 1 \)、\( u_j^* x = 0 \) なので、全体として
U_1^* A U_1 =
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & * \\
0 & A_1
\end{bmatrix}
というブロック上三角行列になります。ここで、部分行列
A_1 = [u_i^* A u_j]_{i,j=2}^{n} \in \mathbb{M}_{n-1}
の固有値は \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) です。もし \( n = 2 \) であれば、これで目的のユニタリ三角化は完了です。そうでなければ、\( \lambda_2 \) に対応する単位固有ベクトル \( \xi \in \mathbb{C}^{n-1} \) を取り、同様の操作を \( A_1 \) に対して繰り返します。\( U_2 \in \mathbb{M}_{n-1} \) を第1列が \( \xi \) であるような任意のユニタリ行列とすると、
U_2^* A_1 U_2 =
\begin{bmatrix}
\lambda_2 & * \\
0 & A_2
\end{bmatrix}
が得られます。
ユニタリ相似変換と三角化の拡張
\( V_2 = [1] \oplus U_2 \) と定義し、ユニタリ相似変換を計算します：
(U_1 V_2)^* A U_1 V_2 = V_2^* U_1^* A U_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix} この手続きを続けて、ユニタリ行列 \( U_i \in M_{n - i + 1} \)（\( i = 1, \ldots, n - 1 \)）および \( V_i \in M_n \)（\( i = 2, \ldots, n - 2 \)）を作ります。すると、行列
U = U_1 V_2 V_3 \cdots V_{n-2} はユニタリであり、\( U^* A U \) は上三角行列となります。
もし \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の固有値がすべて実数であるならば、この手続きで用いるすべての固有ベクトルとユニタリ行列は実数のものを選べます（1.1.P3 および (2.1.13) を参照）。
練習問題
(2.3.1) の記法を用いて、\( U^* A^T U \) が上三角であるとします。ここで \( V = \overline{U} \) とおいたとき、\( V^* A V \) が下三角になることを説明してください。
例 2.3.2
\( A \) の固有値の順番を入れ替えてから三角化 (2.3.1) を行うと、主対角線より上の成分（上三角部分）が異なることがあります。以下の例を考えてみましょう：
T_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad T_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3\sqrt{2} \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix} \( U \) がユニタリであり、\( T_2 = U T_1 U^* \) を確認してください。
練習問題（シュールの不等式と非正規性の測度）
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とし、\( A \) がある上三角行列 \( T = [t_{ij}] \in M_n \) にユニタリ相似であるとします。このとき、\( T \) の対角成分は \( A \) の固有値の順列になっています。式 (2.2.2) を \( A \) および \( T \) に適用して、次の式を導いてください：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 = \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 - \sum_{i \lt j} |t_{ij}|^2 \leq \sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 = \mathrm{tr}(A A^*) \tag{2.3.2a}
等号が成り立つのは \( T \) が対角行列である場合に限ります。
練習問題
\( A = [a_{ij}] \), \( B = [b_{ij}] \in M_2 \) が同じ固有値を持ち、かつ
\sum_{i,j=1}^{2} |a_{ij}|^2 = \sum_{i,j=1}^{2} |b_{ij}|^2 であるとします。式 (2.2.8) によって \( A \) と \( B \) がユニタリ相似であることを示してください。
ただし次の行列
A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \tag{2.3.2b} は同じ固有値と成分の二乗和を持っていますが、式 (2.2.8) または (2.4.5.1) に続く練習問題を使って、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似でないことを示してください。それでも \( A \) と \( B \) は相似であることに注意してください。その理由を説明してください。
補足：同時三角化
(2.3.1) の有用な拡張として、可換な複素行列族は、1つのユニタリ相似変換によって同時に上三角化できるという事実があります。
コメント