定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）
線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x\|_2 = \|Tx\|_2 \) を満たすとき、ユークリッド等距変換（Euclidean isometry）と呼ばれます。
定理2.1.4は、複素正方行列 \( U \in M_n \) が \( x \mapsto Ux \) によってユークリッド等距変換となるのは、\( U \) がユニタリ行列である場合に限ることを示しています。
その他の種類の等距変換については、節(5.4.P11–13)を参照してください。
演習問題
以下の行列を考えます：
U_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ここで \( \theta \) は実数パラメータとします。
- (a) \( U \in M_2(\mathbb{R}) \) が実直交行列であることと、ある \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して \( U = U_\theta \) または
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} U_\theta であることが同値であることを示しなさい。
- (b) \( U \in M_2(\mathbb{R}) \) が実直交行列であることと、ある \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して \( U = U_\theta \) または
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} U_\theta であることが同値であることを示しなさい。
これらは、実数 2×2 の直交行列を、パラメータ \( \theta \) を用いて表す2つの異なる方法です。これらの幾何学的意味を解釈してください。
観察 2.1.6
\( U, V \in M_n \) がユニタリ行列（あるいは実直交行列）であるとき、積 \( UV \) もまたユニタリ行列（あるいは実直交行列）になります。
演習問題
定理2.1.4の(b)を使って、観察2.1.6を証明しなさい。
観察 2.1.7
\( M_n \) におけるユニタリ行列（あるいは実直交行列）の集合は群を形成します。この群は一般に「n次ユニタリ群」（あるいは「n次実直交群」）と呼ばれ、一般線形群 \( GL(n, \mathbb{C}) \)（節0.5） の部分群となります。
演習問題
群とは、単一の結合的な二項演算（「乗法」）に対して閉じており、その演算に関する単位元および逆元が存在する集合のことです。観察2.1.7が群であることを確認しなさい。
ヒント：閉包性には観察2.1.6を使いなさい。行列の積は結合的です。また、単位行列 \( I \in M_n \) はユニタリ行列であり、共役転置 \( U^* = U^{-1} \) もまたユニタリ行列です。
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