2.1.1 ユニタリ行列とQR分解

2.1 ユニタリ行列とQR分解
1.4 Congruence and *Congruence

2.1 ユニタリ行列とQR分解

定義 2.1.1

ベクトルの列 \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) が「直交する」とは、すべての \( i \ne j \) に対して \( x_i^* x_j = 0 \) が成り立つことを言います。さらにすべての \( i \) に対して \( x_i^* x_i = 1 \)（つまり各ベクトルが正規化されている）ならば、その列は「直交正規（orthonormal）」であるといいます。

より簡潔に「\( x_1, \ldots, x_k \) は直交（あるいは直交正規）である」と言うこともよくあります。

練習問題

\( y_1, \ldots, y_k \in \mathbb{C}^n \) が直交していて、かつゼロベクトルでないとする。次のように定義されたベクトル列 \( x_i = (y_i^* y_i)^{-1/2} y_i \)（\( i = 1, \ldots, k \)）が直交正規であることを示せ。

定理 2.1.2

任意の直交正規なベクトル列は線形独立である。

証明

\( \{x_1, \ldots, x_k\} \) が直交正規であると仮定し、次のような線形結合がゼロになるとする：

0 = \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k

両辺の共役転置との内積をとると、

0 = (\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k)^* (\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k) \\ = \sum_{i,j} \bar{\alpha}_i \alpha_j x_i^* x_j = \sum_{i=1}^k |\alpha_i|^2 x_i^* x_i = \sum_{i=1}^k |\alpha_i|^2

よって、すべての \( \alpha_i = 0 \) であり、ベクトル列は線形独立である。

練習問題

非ゼロの直交ベクトル列は線形独立であることを示せ。
直交するベクトル \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( k \leq n \) または少なくとも \( k - n \) 個のベクトルがゼロベクトルであることを示せ。

線形独立なベクトル列が必ずしも直交正規であるとは限らないが、グラム・シュミットの直交化法（0.6.4）を適用することで、同じ線形包に属する直交正規列を得ることができる。

練習問題

任意のゼロでない部分空間（\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \)）は、直交正規基底を持つことを示せ（0.6.5）。

定義 2.1.3

ユニタリ・実直交行列

\( U \in M_n \) が「ユニタリ」であるとは、\( U^* U = I \) を満たすことである。

\( U \in M_n(\mathbb{R}) \) が「実直交行列」であるとは、\( U^\top U = I \) を満たすことである。

練習問題

\( U \in M_n \)、\( V \in M_m \) がユニタリであるとき、\( U \oplus V \in M_{n+m} \) もユニタリであることを示せ。
行列 \( Q, U, V \) がユニタリであることを確かめよ。

Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_n & I_n \\ I_n & -I_n \end{bmatrix}

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_n & iI_n \\ iI_n & I_n \end{bmatrix}

V = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -iI_n & -iI_n \\ I_n & -I_n \end{bmatrix}

定理 2.1.4

\( U \in M_n \) に対して、以下はすべて同値である：

U はユニタリである。
U は正則であり、\( U^{-1} = U^* \)。
\( U U^* = I \)。
\( U^* \) はユニタリである。
U の列ベクトルは直交正規である。
U の行ベクトルは直交正規である。
任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( \|Ux\|_2 = \|x\|_2 \)（つまり、ノルムが不変）である。

このような非負の対角行列への変換は、特異値分解（Singular Value Decomposition, SVD）として知られており、線形代数およびその応用（特に数値計算、統計、データ解析）において極めて重要な役割を果たします。

まとめると、ここでは次のようなさまざまな変換を扱います：

ユニタリ類似変換（unitary similarity）：\( A \mapsto U^*AU \)（\( U \) はユニタリ行列）
*合同変換（*congruence）：\( A \mapsto S^*AS \)（\( S \) は正則行列）
ユニタリ同値変換（unitary equivalence）：\( A \mapsto UAV \)（\( U \in \mathbb{M}_{m}, V \in \mathbb{M}_n \) はユニタリ）

それぞれの変換には固有の理論的性質と応用があります。ユニタリ類似変換は、任意の行列を上三角行列へと変換できることで知られ、その対角成分は元の行列の固有値になります。

一方、ユニタリ同値変換では、行列 \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) を非負の対角行列へと変換できます。このとき得られる対角成分は、\( A \) の特異値（singular values）と呼ばれ、行列の大きさや構造を理解するうえで非常に重要です。

1.4 Congruence and *Congruence

今度は、新たな変換である合同変換（congruence）と*合同変換（*congruence）について考えましょう。

任意の \( n \times n \) 行列 \( A \) に対して、正則行列 \( S \in \mathbb{M}_n \) を用いて、次のように定義される変換：

\[ A \mapsto S^T A S \]

これは「合同変換（congruence）」と呼ばれます。ここで、\( S^T \) は \( S \) の転置行列です。

また、複素行列に対しては、次のような変換：

\[ A \mapsto S^* A S \]

を考えることができ、これは「*合同変換（*congruence）」と呼ばれます。ここで、\( S^* \) は \( S \) の随伴（エルミート転置）です。

合同変換と*合同変換は、対象となる行列の対称性やエルミート性を保ちつつ、その構造を明らかにするのに有効です。

例えば、対称行列 \( A = A^T \) は合同変換によって対角化できます。すなわち、ある正則行列 \( S \) に対して：

\[ S^T A S = D \]

となるような対角行列 \( D \) が存在します。これが実対称行列の対角化理論です。

同様に、エルミート行列 \( A = A^* \) に対しては、*合同変換により対角化できます：

\[ S^* A S = D \]

ここでも \( D \) は対角行列で、その成分は \( A \) の固有値になります。

このように、合同変換と*合同変換は、行列のスペクトル構造（固有値や不変量）を明らかにする上で、非常に強力なツールとなります。

次の章では、これらの変換によって得られる標準形や不変量について、さらに深く考察していきます。

ユニタリ合同変換（unitary equivalence）は、行列 \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) に対して、ユニタリ行列 \( U \in \mathbb{M}_m \)、\( V \in \mathbb{M}_n \) を用いて次のように定義されます：

\[ A \rightarrow UAV \]

ここで、\( U \) および \( V \) がともにユニタリ行列であることに注意してください。この変換では、ユニタリ相似で得られる上三角行列形式をさらに洗練させることが可能であり、またこの考え方は長方形行列にまで一般化されます。

実際、任意の \( A \in \mathbb{M}_{n,m} \) は、非負の対角成分を持つ対角行列にユニタリ同値であり、この対角成分こそが「特異値（singular values）」と呼ばれる非常に重要な量です。