定理 2.5.8. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規行列であるとする。
(a) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、次の形の実準対角行列と実直交類似である：
Q^\top A Q = A_1 \oplus \cdots \oplus A_m \in M_n(\mathbb{R})
ここで、それぞれの \( A_i \) は \( 1 \times 1 \) または \( 2 \times 2 \) 行列であり、以下の性質を持つ：
- (2.5.9) の \( 1 \times 1 \) ブロックは、\( A \) の実固有値を表す。
- 各 \( 2 \times 2 \) ブロックは、次の特別な形をしており、
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
ここで \( b > 0 \) とする。この行列は正規行列であり、固有値 \( a \pm ib \) を持つ。
(b) 表現 (2.5.9) における各直和ブロックは、\( A \) の固有値によって完全に決定される。ただし、これらのブロックは任意の順序で並べることができる。
(c) 2つの実正規 \( n \times n \) 行列が実直交類似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
証明：
(a) 定理 2.3.4(b) により、\( A \) は実直交類似によって、実上準三角行列に変換できる。このとき、対角の \( 2 \times 2 \) ブロックは共役な非実固有値のペアを持つ。
この上準三角行列が正規であるなら、定理 (2.5.2) によって、それは実際に準対角行列であり、各 \( 2 \times 2 \) ブロックは正規かつ共役な非実固有値を持つ。
先行する補題により、これらの \( 2 \times 2 \) ブロックは形 (2.5.10) を持ち、\( b \ne 0 \) である。必要であれば、次の相似変換により \( b > 0 \) を保証できる：
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
(b) 表現 (2.5.9) の直和ブロックはすべての固有値を表しており、これらの順序は置換による相似変換で任意に変更できる。
(c) 同じ固有値を持つ2つの実正規行列は、ともに表現 (2.5.9) に類似であるため、実直交類似である。
この定理は、実正規行列に対する実直交類似の下での標準形を与えている。また、この結果は、実対称行列、実反対称行列、および実直交行列に対する実直交類似の下での標準形の導出にもつながる。
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