2.5.7補題

補題 2.5.7. 行列 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \) が正規行列であり、かつ共役な非実の固有値を持つと仮定する。このとき、

c = -b \neq 0 \quad \text{かつ} \quad d = a

証明： 計算により、

AA^\top = A^\top A

が成り立つための必要十分条件は、次の2式が成立することです：

b^2 = c^2, \quad ac + bd = ab + cd

ここで、もし \( b = c \) ならば、\( A \) は実対称行列、すなわちエルミート行列となるので、前の定理より \( A \) は2つの実固有値を持つことになります。これは仮定に矛盾します（固有値は共役な非実数のペアなので）。

したがって、

b = -c \neq 0

でなければなりません。次に、式

b(d - a) = b(a - d)

を考えると、両辺が等しくなるためには、

a = d

でなければならないことが分かります。