定理 2.5.3
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持つとします。以下の主張はすべて同値です：
- \( A \) は正規行列である。
- \( A \) はユニタリ対角化可能である。
\sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 = \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2
証明
(2.3.1) を用いて、\( A = UTU^* \) と書くことができます。ここで \( U = [u_1, \ldots, u_n] \) はユニタリ行列、\( T = [t_{ij}] \in M_n \) は上三角行列です。
もし \( A \) が正規であれば、ユニタリに相似な行列 \( T \) もまた正規です。前の補題より、\( T \) は実際には対角行列であるため、\( A \) はユニタリ対角化可能です。
仮にユニタリ行列 \( V \) が存在して \( A = V D V^* \)、ここで \( D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) であるとすれば、(2.2.2) により次が成り立ちます：
\mathrm{tr}(A^*A) = \mathrm{tr}(D^*D)
これは (c) の主張に一致します。
行列 \( T \) の対角成分は（順序は異なるかもしれませんが）固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) です。したがって、
\mathrm{tr}(A^*A) = \mathrm{tr}(T^*T) = \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 + \sum_{iよって、(c) が成り立つならば
\sum_{iとなり、\( T \) は対角行列になります。分解 \( A = UTU^* \) は恒等式 \( AU = UT \) に相当します。つまり各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して、
A u_i = t_{ii} u_i
ゆえに、\( U \) の列ベクトルはすべて互いに直交する固有ベクトルです。
最後に、直交系は線形独立であるため、(d) より \( A \) は対角化可能であり、対角化する相似変換は直交ベクトルから構成できます (1.3.7)。したがって、\( A \) は対角行列とユニタリに相似であり、よって正規行列です。
スペクトル分解
正規行列 \( A \in M_n \) を、ユニタリ行列 \( U \) と対角行列 \( D \) を用いて
A = U D U^*
と表すことを、スペクトル分解と呼びます。
練習問題
- 正規行列が「欠陥がない（nondefective）」、すなわちすべての固有値について幾何重複度と代数重複度が等しいことを説明せよ。
-
\( A \in M_n \) を正規行列とし、\( x \in \mathbb{C}^n \) が固有値 \( \lambda \) に対応する右固有ベクトルであるとき、
\( x \) は同じ \( \lambda \) に対応する左固有ベクトルでもあること、すなわち
\( Ax = \lambda x \) は \( x^*A = \lambda x^* \) と同値であることを示せ。
ヒント：\( x \) を正規化して、\( A = U D U^* \) とし、\( x \) を \( U \) の第1列に取る。では \( A^* \)、\( A^*x \) はどうなるか？(2.5.P20) を参照。 - \( A \in M_n \) が正規行列で、\( x, y \) が異なる固有値に対応する固有ベクトルであるとき、前問と双対直交性（biorthogonality）の原理を用いて \( x \) と \( y \) が直交することを示せ。
補足：対角化の構成法
正規行列 \( A \in M_n \) の異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) が分かっているとき、以下のようにしてユニタリ対角化できます：
- 各固有空間 \( \{x \in \mathbb{C}^n : Ax = \lambda x\} \) の基底を求める。
- その基底を直交化することで直交基底を得る。
正規性により固有空間は互いに直交し、それぞれの次元は対応する固有値の重複度に等しいので、これらの基底をすべて集めると \( \mathbb{C}^n \) の直交基底となります。
これらのベクトルを列に持つ行列 \( U \) はユニタリ行列となり、次のように対角化できます：
U^* A U = D
ただし、固有空間の直交基底は一意ではないため、このように構成されるユニタリ行列 \( U \) も一般には一意ではありません。
もし \( X, Y \in M_{n,k} \) が直交列を持つ（すなわち \( X^*X = I_k = Y^*Y \)）行列で、かつ range \( X = \text{range } Y \) であれば、各列ベクトルは線形結合で表せるため、あるユニタリ行列 \( G \in M_k \) が存在して
X = YG
となります。すると
I_k = X^*X = (YG)^*(YG) = G^* G
より、\( G \) はユニタリ行列でなければなりません。この事実は後述の一意性定理の幾何学的解釈を与えます。
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