補題 2.5.2
行列 \( A \in M_n \) が次のように分割されているとします：
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}
ここで \( A_{11} \) および \( A_{22} \) は正方行列とします。このとき、\( A \) が正規行列であるのは、\( A_{11} \) と \( A_{22} \) がともに正規行列であり、かつ \( A_{12} = 0 \) のとき、かつそのときに限ります。
すなわち、ブロック上三角行列が正規であるための必要十分条件は、対角成分がすべて正規行列であり、かつ非対角成分がすべてゼロであることです。特に、上三角行列が正規であるためには、それが対角行列でなければなりません。
証明
まず、\( A_{11} \) と \( A_{22} \) が正規行列であり、かつ \( A_{12} = 0 \) であるとすると、
A = A_{11} \oplus A_{22}
となり、正規行列の直和は正規であるため、\( A \) も正規です。
逆に、\( A \) が正規行列であると仮定します。このとき次の等式が成立します：
AA^* =
\begin{bmatrix}
A_{11}A_{11}^* + A_{12}A_{12}^* & * \\
* & *
\end{bmatrix}
および、
A^*A =
\begin{bmatrix}
A_{11}^*A_{11} & * \\
* & *
\end{bmatrix}
よって、次の関係が得られます：
A_{11}^*A_{11} = A_{11}A_{11}^* + A_{12}A_{12}^*
両辺のトレースを取ると、
\operatorname{tr}(A_{11}^*A_{11}) = \operatorname{tr}(A_{11}A_{11}^* + A_{12}A_{12}^*) = \operatorname{tr}(A_{11}A_{11}^*) + \operatorname{tr}(A_{12}A_{12}^*)
また、トレースの対称性より \(\operatorname{tr}(A_{11}A_{11}^*) = \operatorname{tr}(A_{11}^*A_{11})\) なので、結果的に
\operatorname{tr}(A_{12}A_{12}^*) = 0
ここで、\( \operatorname{tr}(A_{12}A_{12}^*) \) は \( A_{12} \) の各成分の絶対値の二乗和であるため、これは 0 となるには \( A_{12} = 0 \) でなければなりません。したがって、
A = A_{11} \oplus A_{22}
となり、\( A_{11} \) と \( A_{22} \) は正規行列です。
ブロック上三角行列の場合
\( B = [B_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_n \) がブロック上三角で、かつ正規行列であると仮定します。すなわち、各 \( B_{ii} \in M_{n_i} \) は正方行列であり、\( i > j \) ならば \( B_{ij} = 0 \) です。
\( B \) を次のように分割します：
B =
\begin{bmatrix}
B_{11} & X \\
0 & \tilde{B}
\end{bmatrix}
ここで \( X = [B_{12} \cdots B_{1k}] \)、\( \tilde{B} = [B_{ij}]_{i,j=2}^k \) はまたブロック上三角行列です。上記と同様の議論により、\( X = 0 \)、\( \tilde{B} \) は正規行列となり、有限回の帰納法によって \( B \) はブロック対角行列であることが示されます。
逆に、正規行列の直和が正規行列になることは前の練習問題で述べた通りです。
練習問題
\( A \in M_n \) を正規行列とし、インデックス集合 \( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) が与えられているとします。もし \( A[\alpha, \alpha^c] = 0 \) ならば、\( A[\alpha^c, \alpha] = 0 \) を示しなさい。
補足：正規行列に関する基本事実
次に、正規行列に関する最も基本的な事実をまとめます。以下の定理において、(a) と (b) の同値性は「正規行列のスペクトル定理（spectral theorem）」と呼ばれることがあります。
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