2.5.16定理

定理 2.5.16（Fuglede–Putnam）. \( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) が正規行列であり、\( X \in M_{n,m} \) とする。このとき、

AX = XB \quad \Leftrightarrow \quad A^*X = XB^*

証明： \( A = U \Lambda U^* \)、\( B = VMV^* \) をスペクトル分解とする。ただし、

\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \quad
M = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_m)

とする。また、\( U^* X V = [\xi_{ij}] \) とおく。

すると次のように変形できる：

AX = XB
\;\Leftrightarrow\;
U \Lambda U^* X = X V M V^*
\;\Leftrightarrow\;
\Lambda (U^* X V) = (U^* X V) M

これは、すべての \( i, j \) に対して

\lambda_i \xi_{ij} = \xi_{ij} \mu_j

すなわち、

\xi_{ij} (\lambda_i - \mu_j) = 0

となる。よって同様に

\bar{\Lambda} (U^* X V) = (U^* X V) \bar{M}
\;\Leftrightarrow\;
U \bar{\Lambda} U^* X = X V \bar{M} V^*
\;\Leftrightarrow\;
A^* X = X B^*

したがって、命題は証明された。

前の2つの定理は、転置または複素共役と可換な正規行列に対して有用な表現を導く。

演習問題： \( A \in M_n \) が正規行列で、\( \bar{A} A = A \bar{A} \) かつ \( A = B + iC \)（ただし \( B, C \) は実行列）とする。このとき、\( B \) および \( C \) がともに正規で可換であることを示せ。

ヒント： \( B = (A + \bar{A}) / 2 \)

演習問題： \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{C}) \)（ただし \( b \ne 0 \)）、

A_0 = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}, \quad
Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

とおく。このとき次を示せ：

1. \( A \) は正則であることと、ある \( c, \beta \ne 0 \) に対して \( A = c \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix} \) かつ \( \alpha^2 + \beta^2 = 1 \) であることは同値である。
2. \( A \) が特異（singular）かつ零行列でないことと、\( A \) が \( A_0 \) または \( \bar{A}_0 \) の非零スカラー倍であることは同値である。
3. \( Q \) は実直交行列であり、\( \bar{A}_0 = Q A_0 Q^\top \) を満たす。