定理 2.5.15. \( \mathcal{N} \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を、非空な実正規行列の可換族とする。
このとき、実直交行列 \( Q \) および非負整数 \( q \) が存在して、任意の \( A \in \mathcal{N} \) に対して、\( Q^\top A Q \) は次の形の実準対角行列になる：
\Delta(A) \oplus
\begin{pmatrix}
a_1(A) & b_1(A) \\
-b_1(A) & a_1(A)
\end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{pmatrix}
a_q(A) & b_q(A) \\
-b_q(A) & a_q(A)
\end{pmatrix}
ここで、各 \( \Delta(A) \in M_{n - 2q}(\mathbb{R}) \) は対角行列であり、各 \( a_j(A), b_j(A) \in \mathbb{R} \) はすべての \( A \in \mathcal{N} \)、および \( j = 1, \ldots, q \) に対して実数である。また、各 \( j \in \{1, \ldots, q\} \) に対して、ある \( A \in \mathcal{N} \) が存在し、\( b_j(A) > 0 \) を満たす。
証明： 定理 2.3.6(b) により、実直交行列 \( Q \) および準対角行列 \( D = J_{n_1} \oplus \cdots \oplus J_{n_m} \) が存在して、すべての \( A \in \mathcal{N} \) に対して、\( Q^\top A Q \) は \( D \) に合わせて分割された上準三角行列（形式 (2.3.6.1)）となる。
さらに、\( n_j = 2 \) のとき、ある \( A \in \mathcal{N} \) に対して、\( A_j(A) \) は共役な非実固有値の対を持つ。
各 \( Q^\top A Q \) が正規であることから、定理 (2.5.2) により、実際にはすべて準対角行列であることが分かる。すなわち、すべての \( A \in \mathcal{N} \) に対して、
Q^\top A Q = A_1(A) \oplus \cdots \oplus A_m(A)
となり、\( D \) に合わせて分割されており、各ブロック \( A_j(A) \) は正規行列である。
すべての \( n_j = 1 \) の場合は、それ以上示すことはない。そうでない場合、ある \( n_j = 2 \) に対して、可換な行列族 \( \mathcal{F} = \{ A_j(A) : A \in \mathcal{N} \} \) を考える。
\( \mathcal{F} \) の中に、共役な非実固有値の対を持つ行列があるため、補題 (2.5.7) によって、それは以下の特別な形をしている：
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
\quad \text{（ただし } b \ne 0 \text{）}
必要であれば、次の相似変換により \( b > 0 \) を仮定してよい：
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
直前の練習問題により、\( \mathcal{F} \) のすべての行列がこの形であることが分かる。最後に同時に並べ替え（permutation similarity）を行うことで、準対角行列の直和ブロックが式 (2.5.15a) に示された順序になる。
複素または実の正規行列 \( A, B \in M_n \) が絡み関係（intertwining relation）を満たすとき、Fuglede–Putnamの定理により、随伴 \( A^*, B^* \) も同じ絡み関係を満たす。
この定理の証明の鍵は、\( a, b \in \mathbb{C} \) に対して、\( ab = 0 \) であることと \( \overline{a} b = 0 \) であることが同値である点にある。別証明については (2.5.P26) を参照のこと。
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