系 2.5.11. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。
(a) \( A = A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
Q^\top A Q = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})
となることは同値である。ここで、\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) は \( A \) の固有値である。2つの実対称行列が実直交類似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
(b) \( A = -A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) および非負整数 \( p \) が存在して、
Q^\top A Q =
0_{n-2p} \oplus b_1
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus b_p
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\quad \text{ただし } b_j > 0
となることは同値である。\( A \ne 0 \) のとき、\( A \) の非零固有値は \( \pm i b_1, \dots, \pm i b_p \) である。2つの実反対称行列が実直交類似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
(c) \( AA^\top = I \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) および非負整数 \( p \) が存在して、
Q^\top A Q =
D_{n-2p} \oplus
\begin{pmatrix}
\cos \theta_1 & \sin \theta_1 \\
-\sin \theta_1 & \cos \theta_1
\end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{pmatrix}
\cos \theta_p & \sin \theta_p \\
-\sin \theta_p & \cos \theta_p
\end{pmatrix}
となることは同値である。ここで \( D_{n-2p} = \mathrm{diag}(\pm1, \dots, \pm1) \in M_{n-2p}(\mathbb{R}) \)、各 \( \theta_j \in (0, \pi) \) である。\( A \) の固有値は、\( D_{n-2p} \) の対角成分と \( e^{\pm i\theta_1}, \dots, e^{\pm i\theta_p} \) である。2つの実直交行列が実直交類似であるのは、それらが同じ固有値を持つ場合に限る。
証明： 各仮定は \( A \) が実正規行列であることを保証しており、よって \( A \) は形 (2.5.9) の準対角行列に実直交類似である。よって、各仮定が (2.5.9) に現れる直和ブロックに何を意味するかを検討すればよい。もし \( A = A^\top \) なら、(2.5.10) 形のブロックは現れない。もし \( A = -A^\top \) なら、1×1 ブロックはすべて 0 であり、2×2 ブロックの対角成分もすべて 0 である。もし \( AA^\top = I \) なら、1×1 ブロックはすべて \( [\pm1] \) であり、(2.5.10) 形の 2×2 ブロックは行列式が \( \pm1 \) なので、\( a^2 + b^2 = 1 \) を満たす。したがって、ある \( \theta \in (0, \pi) \) が存在して \( a = \cos \theta \), \( b = \sin \theta \)、つまり \( a \pm ib = e^{\pm i\theta} \) である。
練習問題：
\(A_1 =\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a\end{pmatrix} \in M_2\) ,\(A_2 =\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ gamma & \delta\end{pmatrix} \in M_2\)とし、\( b \ne 0 \) と仮定する。
\( A_1 \) と \( A_2 \) が可換であるのは、\( \alpha = \delta \) かつ \( \gamma = -\beta \) のとき、かつそのときに限ることを示せ。
練習問題： \( a, b \in \mathbb{C} \) とする。次の2つの行列が実直交類似であることを説明せよ：
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
ヒント：次の相似変換を考えよ：
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
次の定理は、定理 (2.5.5) の実正規版である。
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