2.4.9 固有値の連続性
Schur のユニタリ三角化定理は、次のような基本的かつ広く有用な事実の証明に利用できます。それは、実または複素の正方行列の固有値は、その成分に連続的に依存するということです。この証明では、Schur の定理における「ユニタリ性」と「三角性」の両方が重要な役割を果たします。以下の補題は、その基本原理を要約したものです。
補題 2.4.9.1
無限列の行列 \( A_1, A_2, \dots \in \mathbb{M}_n \) が与えられ、成分ごとの極限
\lim_{k \to \infty} A_k = A
が成り立つと仮定します。このとき、正の整数列 \( k_1 < k_2 < \cdots \) およびユニタリ行列 \( U_{k_i} \in \mathbb{M}_n \) が存在して、次の条件を満たします：
- \( T_i = U_{k_i}^* A_{k_i} U_{k_i} \) はすべて上三角行列である。
- \( \lim_{i \to \infty} U_{k_i} = U \) が存在し、しかも \( U \) はユニタリ行列である。
- \( T = U^* A U \) は上三角行列である。
- \( \lim_{i \to \infty} T_i = T \) が成り立つ。
証明
(2.3.1) により、各 \( k = 1, 2, \dots \) に対して、ユニタリ行列 \( U_k \in \mathbb{M}_n \) が存在し、\( U_k^* A_k U_k \) は上三角行列になります。補題 2.1.8 により、ユニタリ行列の無限部分列 \( U_{k_1}, U_{k_2}, \dots \) とユニタリ行列 \( U \) が存在して、
U_{k_i} \to U \quad (i \to \infty)
が成り立ちます。したがって、積
T_i = U_{k_i}^* A_{k_i} U_{k_i}
の各因子が収束するため、極限
T = U^* A U
が存在し、これは各 \( T_i \) が上三角であることから、やはり上三角行列になります。∎
上の議論において、各上三角行列 \( T, T_1, T_2, \dots \) の主対角成分は、それぞれ \( A, A_{k_1}, A_{k_2}, \dots \) の固有値の一種の並べ方（\( n \)-ベクトルと考える）になります。成分ごとの収束 \( T_i \to T \) により、各行列に対して最大で \( n! \) 通りある固有値の並べ方のうち、少なくとも1つの並べ方について、固有値ベクトルがあるベクトルに収束することが保証されます。その極限ベクトルの成分は、行列 \( A \) の全ての固有値を含みます。この意味において、次の定理に形式化されるように、正方実行列または複素行列の固有値は、その成分に連続的に依存します。
定理 2.4.9.2
無限列の行列 \( A_1, A_2, \dots \in \mathbb{M}_n \) が与えられ、成分ごとに
\lim_{k \to \infty} A_k = A
が成り立つとします。行列 \( A \) および \( A_k \) の固有値の並べ方をそれぞれ
\lambda(A) = [\lambda_1(A), \dots, \lambda_n(A)]^T, \quad \lambda(A_k) = [\lambda_1(A_k), \dots, \lambda_n(A_k)]^T
とします。ここで、\( S_n \) を集合 \( \{1,2,\dots,n\} \) のすべての置換の集合とします。このとき任意の \( \varepsilon > 0 \) に対して、ある正の整数 \( N = N(\varepsilon) \) が存在し、すべての \( k \geq N \) に対して以下が成り立ちます：
\min_{\pi \in S_n} \max_{i=1,\dots,n} \left| \lambda_{\pi(i)}(A_k) - \lambda_i(A) \right| \leq \varepsilon
証明
この主張が偽であると仮定すると、ある \( \varepsilon_0 > 0 \) と単調増加な正整数列 \( k_1 < k_2 < \cdots \) が存在して、すべての \( j = 1, 2, \dots \) に対して、すべての \( \pi \in S_n \) に対し
\max_{i=1,\dots,n} \left| \lambda_{\pi(i)}(A_{k_j}) - \lambda_i(A) \right| > \varepsilon_0
が成り立ちます。しかし補題 2.4.9.1 により、さらに部分列 \( k_{j_1} < k_{j_2} < \cdots \)、ユニタリ行列 \( U, U_{k_{j_1}}, U_{k_{j_2}}, \dots \)、および上三角行列
T = U^* A U, \quad T_p = U_{k_{j_p}}^* A_{k_{j_p}} U_{k_{j_p}} \quad (p = 1,2,\dots)
が存在し、各 \( T_p \) のすべての成分（特に主対角成分）が \( T \) の対応する成分へ収束します（\( p \to \infty \)）。
行列 \( T, T_1, T_2, \dots \) の主対角ベクトルは、それぞれの固有値並べ方 \( \lambda(A), \lambda(A_{k_{j_1}}), \lambda(A_{k_{j_2}}), \dots \) を並べ替えたものに一致するため、この成分ごとの収束は前述の不等式と矛盾し、したがって定理の主張が証明されます。∎
なお、定理における「任意の \( \varepsilon > 0 \) に対してある \( N = N(\varepsilon) \) が存在する」という存在命題は、明示的な評価式に置き換えることも可能です。詳細は付録 D の (D2) を参照してください。
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