2.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である
以下の定理は (2.3.1) の応用かつ拡張であり、次章で扱うジョルダン標準形への重要な一歩となります。
定理 2.4.6.1. \( A \in \mathbb{M}_n \) の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \)、対応する重複度を \( n_1, \ldots, n_d \) とします。定理 (2.3.1) により、\( A \) はユニタリ合同変換によって、\( d \times d \) のブロック上三角行列 \( T = [T_{ij}]_{i,j=1}^d \) に変換できます：
各ブロック \( T_{ij} \in \mathbb{M}_{n_i \times n_j} \)、\( i > j \) のとき \( T_{ij} = 0 \)、また対角ブロック \( T_{ii} \) は対角要素がすべて \( \lambda_i \) である上三角行列、すなわち
T_{ii} = \lambda_i I_{n_i} + R_i,\quad R_i \in \mathbb{M}_{n_i}
ここで \( R_i \) は厳密な上三角行列です。このとき、\( A \) は次のブロック対角行列に相似です：
\begin{bmatrix}
T_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & T_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & T_{dd}
\end{bmatrix}
\tag{2.4.6.2}
もし \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R}) \) で、すべての固有値が実数であるならば、\( A \) をこの特殊な上三角行列 \( T \) にユニタリ合同で変換する行列も、また \( T \) を式 (2.4.6.2) の形に相似変換する行列も、いずれも実数行列として構成できます。
証明： \( T \) を次のように分割します：
T = \begin{bmatrix}
T_{11} & Y \\
0 & S_2
\end{bmatrix},\quad S_2 = [T_{ij}]_{i,j=2}^d
\( T_{11} \) の唯一の固有値は \( \lambda_1 \)、\( S_2 \) の固有値は \( \lambda_2, \ldots, \lambda_d \) です。Sylvester の定理 (2.4.4.1) により、次の方程式には解 \( X \) が存在します：
T_{11}X - XS_2 = -Y
この \( X \) を用いて次のように行列 \( M \) を構成します：
M = \begin{bmatrix}
I_{n_1} & X \\
0 & I
\end{bmatrix},\quad
M^{-1} = \begin{bmatrix}
I_{n_1} & -X \\
0 & I
\end{bmatrix}
すると
M^{-1}TM = \begin{bmatrix}
T_{11} & 0 \\
0 & S_2
\end{bmatrix}
もし \( d = 2 \) であれば、これでブロック対角化は完了です。\( d > 2 \) の場合には、\( S_2 \) に同様の手順を適用して、\( S_2 \sim T_{22} \oplus S_3 \) を得ます。この処理を \( d-1 \) 回繰り返すことで、最終的に \( T \sim T_{11} \oplus \cdots \oplus T_{dd} \) が得られます。
もし \( A \) が実数行列で、固有値もすべて実数であれば、これらの変換はすべて実数行列で構成できます。
演習問題：
- \( A \in \mathbb{M}_n \) が \( d \times d \) のブロック上三角行列 \( T = [T_{ij}]_{i,j=1}^d \) にユニタリ合同であるとします。もし \( j > i \) かつ \( T_{ij} \neq 0 \) であれば、(2.2.2) を用いて \( T \) は \( T_{11} \oplus \cdots \oplus T_{dd} \) にユニタリ合同ではないことを示してください。
定理 2.4.6.3. 可換族 \( \mathcal{F} \subset \mathbb{M}_n \) があり、ある \( A_0 \in \mathcal{F} \) が \( d \) 個の異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \)（重複度 \( n_1, \ldots, n_d \)）を持つとします。このとき、ある可逆行列 \( S \in \mathbb{M}_n \) が存在して：
- (a) \( \hat{A}_0 = S^{-1}A_0S = T_1 \oplus \cdots \oplus T_d \)、各 \( T_i \in \mathbb{M}_{n_i} \) は上三角で、対角要素はすべて \( \lambda_i \)。
- (b) 任意の \( A \in \mathcal{F} \) に対して、\( S^{-1}AS \) は \( \hat{A}_0 \) に整合するブロック対角かつ上三角の行列となる。
証明： (2.4.6.1) により、ある可逆行列 \( S_0 \) によって \( S_0^{-1}A_0S_0 = \tilde{A}_0 = R_1 \oplus \cdots \oplus R_d \) とでき、各 \( R_i \in \mathbb{M}_{n_i} \) は唯一の固有値 \( \lambda_i \) を持ちます。
可換族 \( \mathcal{F} \) に対し、\( S_0^{-1}\mathcal{F}S_0 \) もまた可換族です。任意の \( B \in S_0^{-1}\mathcal{F}S_0 \) を \( \tilde{A}_0 \) に従ってブロック分割すると、Sylvester の定理により非対角成分はすべて 0 となり、各 \( B \) は \( \tilde{A}_0 \) に整合するブロック対角行列となります。
各ブロックごとに可換族 \( \mathcal{F}_i \subset \mathbb{M}_{n_i} \) を定め、それぞれに (2.3.3) を適用すると、ユニタリ行列 \( U_i \) により \( U_i^* \mathcal{F}_i U_i \) は上三角行列族となります。これらを \( U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d \)、\( S = S_0U \) とすれば、主張が成立します。
系 2.4.6.4. 可換族 \( \mathcal{F} \subset \mathbb{M}_n \) に対し、可逆行列 \( S \in \mathbb{M}_n \) と正の整数 \( k, n_1, \ldots, n_k \)（\( n_1 + \cdots + n_k = n \)）が存在し、任意の \( A \in \mathcal{F} \) に対して：
S^{-1}AS = A_1 \oplus \cdots \oplus A_k,\quad A_i \in \mathbb{M}_{n_i}
ここで各 \( A_i \) は上三角で、かつ正確に一つの固有値を持ちます。
証明： もし \( \mathcal{F} \) に属するすべての行列がただ 1 つの固有値しか持たないならば、(2.3.3) を適用して証明は完了します。
一方、\( \mathcal{F} \) に属する行列の中に、2 つ以上の異なる固有値を持つものがあるとします。このとき、すべての行列の中から異なる固有値の個数が最大となる行列 \( A_0 \in \mathcal{F} \) を 1 つ選びます。
前の定理と同様に、\( A_0 \) に対して同時ブロック対角化された上三角行列への変換を構成します。すると、得られる各対角ブロックのサイズは、元の \( A_0 \) のサイズよりも確実に小さくなります。
このようにして得られた \( A_0 \) の簡約形の各対角ブロックには、それぞれ対応する可換な行列族が存在します。各行列族の中では、次のいずれかが成り立ちます：
- (a) 各行列がただ 1 つの固有値しか持たない（この場合、それ以上の簡約は必要ありません）。
- (b) 少なくとも 1 つの行列が 2 つ以上の異なる固有値を持つ。
(b) の場合には、その行列族から再び異なる固有値の個数が最大となる行列を 1 つ選び、同様の手順でブロック対角化を行い、さらにサイズの小さい対角ブロックの集合を得ます。
この操作を再帰的に繰り返すことで、各ステップで対角ブロックのサイズは小さくなっていくため、必ず有限回で終了します。そして最終的には、すべての可換な行列族に属する行列がただ 1 つの固有値しか持たない状態に至ります。
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