2.4.5 シュールの三角化定理における一意性
与えられた \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ユニタリ類似によって得られる上三角行列 \( T \)（式 (2.3.1) における形）は一意であるとは限りません。つまり、主対角線の成分が一致していても、異なる上三角行列がユニタリ類似であることがあります。
もし \( T, T' \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列で、主対角線の成分が一致しており、等しい値がまとめて並んでいるとき、\( T' = W T W^* \) を満たすユニタリ行列 \( W \in \mathbb{M}_n \) にはどのような性質があるでしょうか？すなわち、\( W T = T' W \) です。この問いに対し、以下の定理は、\( W \) がブロック対角行列でなければならないこと、そして \( T \) の上対角成分に特定の条件がある場合には、\( W \) が対角行列やスカラー行列になることを示します。後者の場合、\( T = T' \) となります。
定理 2.4.5.1 正の整数 \( n, d, n_1, \dots, n_d \) が \( n_1 + \cdots + n_d = n \) を満たすとします。また、\( \Lambda = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d} \in \mathbb{M}_n \) を、\( \lambda_i \ne \lambda_j \)（\( i \ne j \)）を満たすように定めます。上三角行列 \( T = [t_{ij}] \in \mathbb{M}_n \), \( T' = [t'_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) は、ともに \( \Lambda \) と同じ主対角成分を持つとします。さらに、\( T = [T_{ij}]_{i,j=1}^d \), \( T' = [T'_{ij}]_{i,j=1}^d \), \( W = [W_{ij}]_{i,j=1}^d \in \mathbb{M}_n \) を \( \Lambda \) に従って分割します。仮定として \( WT = T'W \) を満たすとします。このとき以下が成り立ちます。
(a) \( i > j \) のとき \( W_{ij} = 0 \)、すなわち \( W \) は \( \Lambda \) に整合するブロック上三角行列である。
(b) \( W \) がユニタリであれば、\( W = W_{11} \oplus \cdots \oplus W_{dd} \) となり、\( \Lambda \) に整合するブロック対角行列である。
(c) 各ブロック \( T_{11}, \dots, T_{dd} \) の第1上対角成分がすべて非ゼロであれば、\( W \) は上三角行列である。さらに \( W \) がユニタリならば、\( W = \mathrm{diag}(w_1, \dots, w_n) \) のような対角行列である。
(d) \( W \) がユニタリで、かつ \( t_{i,i+1} > 0 \), \( t'_{i,i+1} > 0 \)（\( i = 1, \dots, n - 1 \)）を満たすならば、\( W \) はスカラーユニタリ行列、すなわち \( W = w I \) である。このとき \( T = T' \) である。
演習問題
1. \( A, B \in \mathbb{M}_n \) がスカラーユニタリ行列によってユニタリ類似であるとき、なぜ \( A = B \) であるといえるか説明しなさい。
2. \( T, T' \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列で、主対角に異なる値が並んでおり、ユニタリ行列 \( U \in \mathbb{M}_n \) により相似であるとき、なぜ \( U \) は対角行列でなければならないのか説明しなさい。また、もし \( T, T' \) の第1上対角成分がすべて実数かつ正であるならば、なぜ \( T = T' \) であるといえるのか説明しなさい。
3. \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{M}_n \) が \( a_{i,i+1} \ne 0 \)（\( i = 1, \dots, n - 1 \)）を満たすとき、対角ユニタリ行列 \( D \) が存在して、\( D A D^* \) の第1上対角成分が実数かつ正になることを示しなさい。
ヒント：\( D = \mathrm{diag}(1, a_{12}/|a_{12}|, a_{12}a_{23}/|a_{12}a_{23}|, \dots) \) を考えなさい。
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