2.4.4 シルベスターの定理と線形行列方程式
可換性に関連する方程式 \( AX - XA = 0 \) は、一般的に シルベスター方程式と呼ばれる線形行列方程式 \( AX - XB = C \) の特別な場合です。以下の定理は、任意の \( C \) に対して一意な解 \( X \) が存在するための必要十分条件を示します。この結果は、カイリー・ハミルトンの定理と、もし \( AX = XB \) であるならば、次のように帰納的に導かれる観察に基づいています。
A^2X = A(AX) = A(XB) = (AX)B = (XB)B = XB^2
同様に、
A^3X = A(A^2X) = A(XB^2) = (AX)B^2 = XB^3
そして一般に、\( A^k X = X B^k \)。この標準的な記法のもとで、\( A^0 = I \)（単位行列）とすれば、次が成り立ちます：
\left( \sum_{k=0}^m a_k A^k \right) X = X \left( \sum_{k=0}^m a_k B^k \right)
この観察を形式化すると、次の補題が得られます。
補題 2.4.4.0. \( A \in M_n, B \in M_m, X \in M_{n,m} \) とする。もし \( AX - XB = 0 \) ならば、任意の多項式 \( g(t) \) に対して \( g(A)X - Xg(B) = 0 \) が成り立つ。
定理 2.4.4.1（シルベスター）
\( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) のとき、任意の \( C \in M_{n,m} \) に対して、方程式 \( AX - XB = C \) が一意な解 \( X \in M_{n,m} \) を持つことと、固有値集合の交わりが空であること（\( \sigma(A) \cap \sigma(B) = \emptyset \)）は同値である。特に、\( \sigma(A) \cap \sigma(B) = \emptyset \) のとき、\( AX - XB = 0 \) を満たす唯一の \( X \) は \( X = 0 \) である。また、\( A \) および \( B \) が実行列である場合にも、任意の実行列 \( C \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) に対して、方程式は一意な実行列解 \( X \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) を持つ。
証明： 線形変換 \( T : M_{n,m} \rightarrow M_{n,m} \) を \( T(X) = AX - XB \) により定義する。任意の \( C \in M_{n,m} \) に対して \( T(X) = C \) が一意な解を持つためには、\( T(X) = 0 \) の唯一の解が \( X = 0 \) であることを示せば十分である。先の議論より、\( AX - XB = 0 \) のとき、
p_B(A)X - Xp_B(B) = 0
カイリー・ハミルトンの定理により \( p_B(B) = 0 \) なので、\( p_B(A)X = 0 \) が成り立つ。
\( B \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) とすれば、
p_B(t) = (t - \lambda_1)\cdots(t - \lambda_n)
よって、
p_B(A) = (A - \lambda_1 I)\cdots(A - \lambda_n I)
ここで、すべての \( \lambda_j \) に対して \( A - \lambda_j I \) が正則であれば、\( p_B(A) \) も正則であり、したがって \( p_B(A)X = 0 \) の唯一の解は \( X = 0 \) である。
一方、\( p_B(A)X = 0 \) に非自明解が存在すれば、\( p_B(A) \) は特異であり、ある \( \lambda_j \) に対して \( A - \lambda_j I \) は特異、すなわち \( \lambda_j \) は \( A \) の固有値である。
\( A, B \) が実行列であっても同様の議論が適用され、たとえ \( B \) の固有値が複素数であっても、実行列 \( p_B(A) \) の正則性は変わらない。
補題（補足）： \( AX = XB \) という形式の行列恒等式は 交差関係（intertwining relation）と呼ばれます。もっともよく知られている例は可換性方程式 \( AB = BA \) です。他の例には反可換性 \( AB = -BA \)、転置との可換性 \( AB = BA^T \)、複素共役との可換性 \( AB = B\overline{A} \)、随伴との可換性 \( AB = BA^* \) などがあります。以下の系は、特定の交差関係を満たす行列がブロック対角になることを示すのに用いられます。
系 2.4.4.2. \( B, C \in M_n \) がブロック対角で、\( B = B_1 \oplus \cdots \oplus B_k \)、\( C = C_1 \oplus \cdots \oplus C_k \) とする。任意の \( i \ne j \) に対して \( \sigma(B_i) \cap \sigma(C_j) = \emptyset \) と仮定する。\( A \in M_n \) が \( AB = CA \) を満たすとき、\( A \) も同様にブロック対角であり、\( A = A_1 \oplus \cdots \oplus A_k \)、各 \( i \) に対して \( A_i B_i = C_i A_i \) である。
証明： \( A = [A_{ij}] \) とブロック構造で分割する。\( AB = CA \) は、成分ごとに \( A_{ij} B_j = C_i A_{ij} \) を意味する。もし \( i \ne j \) であれば、先の定理により \( A_{ij} = 0 \) である。
一般に覚えておくべき重要な原則は、もし \( AX = XB \) が成り立ち、かつ \( A \), \( B \) に特別な構造があるならば、\( X \) にも特別な構造が現れる可能性が高いということです。その構造を理解するために、\( A \) および \( B \) を標準形に変換し、変換された \( X \) とともに交差関係を検討するのが有効です。以下はそのような例です。
系 2.4.4.3. \( A, B \in M_n \) とし、可逆行列 \( S \in M_n \) が存在して、
A = S(A_1 \oplus \cdots \oplus A_d)S^{-1}
であり、すべての \( i \ne j \) に対して \( \sigma(A_i) \cap \sigma(A_j) = \emptyset \) であるとする。このとき、\( AB = BA \) であることと、
B = S(B_1 \oplus \cdots \oplus B_d)S^{-1}
を満たし、各 \( i \) に対して \( A_i B_i = B_i A_i \) を満たすことは同値である。
証明： \( A \) が \( B \) と可換であるならば、\( (S^{-1}AS)(S^{-1}BS) = (S^{-1}BS)(S^{-1}AS) \) が成り立つので、先の系より直和分解された形の \( S^{-1}BS \) が得られる。逆も計算により示せる。
この結果のよくある応用として、各 \( A_i \) は単一の固有値を持つ行列、しばしばスカラー行列（\( A_i = \lambda_i I_{n_i} \)）である場合が挙げられます。
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