2.4.2 Aの多項式の固有値

行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持っていると仮定し、\( p(t) \) を任意の多項式とします。式 (1.1.6) において、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( p(\lambda_i) \) が \( p(A) \) の固有値であることを示しました。また、\( \mu \) が \( p(A) \) の固有値であるならば、ある \( i \in \{1, \ldots, n\} \) が存在して、\( \mu = p(\lambda_i) \) となります。

これらの観察結果から、\( p(A) \) の異なる固有値（すなわちスペクトル (1.1.4)）を特定することはできますが、それらの重複度（重複の回数）はわかりません。シュールの定理 (2.3.1) により、重複度も明らかになります。

\( A = UTU^* \) と書けるとしましょう。ただし、\( U \) はユニタリ行列で、\( T = [t_{ij}] \) は主対角成分が \( t_{11} = \lambda_1, t_{22} = \lambda_2, \ldots, t_{nn} = \lambda_n \) である上三角行列とします。このとき、

p(A) = p(UTU^*) = U p(T) U^*

となります（式 (1.3.P2)）。\( p(T) \) の主対角成分は \( p(\lambda_1), p(\lambda_2), \ldots, p(\lambda_n) \) なので、これらが \( p(T) \)、ひいては \( p(A) \) の固有値（重複を含む）となります。

特に、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、\( A^k \) の固有値は \( \lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k \) となり、トレースは以下のようになります：

\mathrm{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k

練習問題：
\( T \in \mathbb{M}_n \) が厳密な上三角行列（すなわちすべての主対角成分がゼロ）であるとします。\( p = 1, \ldots, n \) に対して、\( T^p \) の主対角とその上 \( p - 1 \) 本の超対角成分がすべてゼロであることを示しなさい。特に \( T^n = 0 \) である。

さて、行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k = 0 \) ならば、\( \sigma(A) = \{0\} \) であり、特性多項式は \( p_A(t) = t^n \) になります（式 (1.1.P6)）。ここで、逆も成り立つこと、さらにはそれ以上のことも示すことができます。

もし \( \sigma(A) = \{0\} \) ならば、ユニタリ行列 \( U \) と厳密な上三角行列 \( T \) が存在して \( A = UTU^* \) と表せます。上の練習問題より \( T^n = 0 \) なので、

A^n = U T^n U^* = 0

よって、\( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、以下はすべて同値です：

\( A \) は冪零行列（nilpotent）である。
\( A^n = 0 \) である。
\( \sigma(A) = \{0\} \) である。