2.4 シュールの三角化定理の帰結
シュールのユニタリ三角化定理からは、さまざまな重要な結果を得ることができます。本節では、それらのいくつかを詳しく調べます。
2.4.1 トレースと行列式
行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) をもつと仮定します。式 (1.2) では、特性多項式を用いて以下を示しました：
\sum_{i=1}^n \lambda_i = \mathrm{tr}(A),
\sum_{i=1}^n \prod_{\substack{j=1 \\ j \ne i}}^n \lambda_j = \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)),
\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i
しかし、これらの等式やそれ以外の性質は、式 (2.3.1) に示された三角形の形を見れば簡単に導かれます。
任意の正則行列 \( S \in \mathbb{M}_n \) に対して、次のような等式が成り立ちます：
\mathrm{tr}(S^{-1} A S) = \mathrm{tr}(A),
\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(S^{-1} A S)) = \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)),
\det(S^{-1} A S) = \det(A)
したがって、\( \mathrm{tr}(A) \), \( \mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)) \), \( \det(A) \) は、\( A \) に相似な任意の行列を使って計算することができます。
式 (2.3.1) に現れる上三角行列 \( T = [t_{ij}] \) は、この目的において便利です。なぜなら、主対角成分 \( t_{11}, \ldots, t_{nn} \) は \( A \) の固有値に一致するからです。また、
\mathrm{tr}(T) = \sum_{i=1}^n t_{ii},
\det(T) = \prod_{i=1}^n t_{ii},
さらに、\( \mathrm{adj}(T) \) の主対角成分は次のようになります：
\sum_{\substack{j=1}}^n t_{jj},\ \ldots,\ \sum_{\substack{j=n}}^n t_{jj}.
このように、三角化された行列の形を用いることで、トレースや行列式、余因子行列のトレースといった値を効率よく求めることができます。
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