問題
2.3.P1
\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、
\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \mathbb{C}\)、\(y \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
実数 \(\theta \in \mathbb{R}\) を、\(e^{i\theta} x_1 \geq 0\) となるように選び、
\(z = e^{i\theta} x = \begin{bmatrix} z_1 \\ \zeta^T \end{bmatrix}\) と定義する。ここで、\(z_1 \in \mathbb{R}\) は非負であり、\(\zeta \in \mathbb{C}^{n-1}\) である。
以下のエルミート行列 \(V_x\) を考える。
V_x =
\begin{bmatrix}
z_1 & \zeta^* \\
\zeta & -I + \dfrac{1}{1 + z_1} \zeta \zeta^*
\end{bmatrix}
ブロック積の計算を用いて、\(V_x^* V_x = V_x^2\) を計算せよ。
これより、\(U = e^{-i\theta} V_x = [x\ u_2\ \ldots\ u_n]\) は単位行列であり、その第1列が与えられたベクトル \(x\) であることが分かる。
2.3.P2
\(x \in \mathbb{R}^n\) が与えられた単位ベクトルであるとき、(2.3.P1) で述べた構成を簡略化して、
第1列が \(x\) であるような実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R})\) を構成する方法を示せ。
また、その構成法が正しく機能することを証明せよ。
2.3.P3
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の場合、非実固有値（存在するならば）は共役な対として現れる理由を説明せよ。
2.3.P4
次の行列族 \( \mathcal{F} \) を考える：
\mathcal{F} =
\left\{
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
0 & -1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\right\}
このとき、(2.3.3) における可換性の仮定は、同時に単位的上三角化可能であるための十分条件ではあるが、必要条件ではないことを示せ。
2.3.P5
与えられた行列族 \( \mathcal{F} = \{A_1, \dots, A_k\} \subset M_n \) に対し、すべてのペア積からなる族を
\( \mathcal{G} = \{A_i A_j : i,j = 1,2,\dots,k\} \) とする。
もし \( \mathcal{G} \) が可換であれば、各交換子 \( A_i A_j - A_j A_i \) のすべての固有値が 0 であることと同値に、
\( \mathcal{F} \) は同時に単位的上三角化可能であることが知られている。
このとき、\( \mathcal{G} \) の可換性の仮定は、\( \mathcal{F} \) の可換性よりも弱い仮定であることを示せ。
また、(2.3.P4) の \( \mathcal{F} \) に対応する \( \mathcal{G} \) が可換であり、零固有値条件も満たすことを示せ。
2.3.P6
\( A, B \in M_n \) が与えられ、両者が同時に上三角化可能、すなわちある正則行列 \( S \in M_n \) に対して
\( S^{-1} A S \) および \( S^{-1} B S \) がともに上三角行列であるとする。このとき、
\( AB - BA \) のすべての固有値が 0 であることを示せ。
2.3.P7
ある \( A \in M_n \) が \( A = Q \Lambda Q^T \) と書けるとする。ここで \( Q \in M_n \) は複素直交行列、
\( \Lambda \in M_n \) は上三角行列である。このとき、\( x^T x \neq 0 \) を満たす \( x \in \mathbb{C}^n \) が少なくとも1つ存在することを示せ。
以下の例を考えよ：
A =
\begin{bmatrix}
1 & i \\
i & -1
\end{bmatrix}
これにより、すべての \( A \in M_n \) が複素直交相似変換により上三角化できるわけではないことを示せ。
2.3.P8
\( Q \in M_n \) が複素直交行列であり、\( x \in \mathbb{C}^n \) が固有値 \( \lambda \neq \pm1 \) に対応する固有ベクトルであるとする。このとき、
\( x^T x = 0 \) を示せ。
2×2の複素直交行列で固有値が ±1 でない例は (2.1.P8a) を参照。
このような行列は、いずれも複素直交相似によって上三角化できないことを示せ。
2.3.P9
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) とし、\( Ax = \lambda x \) を満たす非零ベクトル \( x \)、
任意の \( y \in \mathbb{C}^n \)、およびスカラー \( \alpha \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。
次の補題の詳細を示せ：
\tilde{A} =
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix}
\in M_{n+1}
このとき、\( \tilde{A} \) の固有値は次の 2×2 行列の固有値と \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) である：
\begin{bmatrix}
\alpha & y^*x \\
1 & \lambda
\end{bmatrix}
ここで、\( x/\|x\|_2 \) を第1列とするユニタリ行列 \( U \) を構成し、\( V = [1] \oplus U \) として
\( V^* \tilde{A} V = \begin{bmatrix} B & * \\ 0 & C \end{bmatrix} \) を示せ。
\( B \in M_2 \) は上記のスケーリング後の 2×2 行列、\( C \in M_{n-2} \) は固有値 \( \lambda_2, \dots, \lambda_n \) を持つとする。
特に \( y \perp x \) のとき、\( \tilde{A} \) の固有値は \( \alpha, \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) となる。
また、次の 2つの行列の固有値が等しいことを説明せよ：
\begin{bmatrix}
\alpha & y^* \\
x & A
\end{bmatrix},
\quad
\begin{bmatrix}
A & x \\
y^* & \alpha
\end{bmatrix}
2.3.P10
\( A = [a_{ij}] \in M_n \)、\( c = \max \{ |a_{ij}| : 1 \le i, j \le n \} \) とするとき、
次の不等式 \( |\det A| \le c^n n^{n/2} \) を以下の2通りで示せ：
(a) 固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) を用い、
|\det A|^2 = |\lambda_1 \cdots \lambda_n|^2 \le
\left( \frac{|\lambda_1|^2 + \cdots + |\lambda_n|^2}{n} \right)^n
\le \left( \frac{\sum_{i,j} |a_{ij}|^2}{n} \right)^n \le (nc^2)^n
(b) (2.1.P23) のハダマールの不等式を用いる。
2.3.P11
(2.3.1) を用いて、もし \( A \in M_n \) の固有値がすべて0であれば \( A^n = 0 \) であることを証明せよ。
2.3.P12
\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( r \in \{1, \dots, n\} \) とする。
(a) (2.3.1) を使い、複合行列 \( C_r(A) \) の固有値が \( \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_r} \) の形であることを示せ。
(b) \( \mathrm{tr} C_r(A) = S_r(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = E_r(A) \) を示せ。
(c) 固有値が \( |\lambda_1| \ge \dots \ge |\lambda_n| \) の順に並んでいるとき、\( C_r(A) \) のスペクトル半径は
\( \rho(C_r(A)) = |\lambda_1 \cdots \lambda_r| \) であることを示せ。
(d) 次の恒等式を示せ：
p_A(t) = \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{n-k} \mathrm{tr} C_k(A), \quad
\det(I + A) = \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A)
(e) \( A \) が可逆ならば以下が成り立つことを示せ：
\det(A + B) = \det A \cdot \det(I + A^{-1} B) =
\det A \cdot \sum_{k=0}^n \mathrm{tr} C_k(A^{-1} B) =
\sum_{k=0}^n \mathrm{tr}(\operatorname{adj}_k(A) \cdot C_k(B))
(f) 恒等式 (0.8.12.3) を証明せよ。
2.3.P13
次の行列を考える：
A =
\begin{bmatrix}
-2 & 5 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
(a) \( \pm i \) が固有値であることを示し、\( A \) が次の行列と実類似であることを示せ：
B =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}
(b) \( A \) は \( B \) と実直交類似でない理由を説明せよ。
2.3.P14
(a) \( A = [a_{ij}] \in M_n \)、ユニタリ行列 \( V = [v_{ij}] \in M_n \) に対し、以下を示せ：
| \mathrm{tr}(VA) | =
\left| \sum_{i,j} v_{ij} a_{ji} \right|
\le \sum_{i,j} |a_{ji}|
(b) 固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) に対し：
\sum_i |\lambda_i| \le \sum_{i,j} |a_{ij}|
参考文献
上三角化 (2.3.1) の強化については (3.4.3.1) を参照。
(2.3.P5) で主張される (2.3.3) の強い形の証明については、
Y. P. Hong および R. A. Horn,
"On simultaneous reduction of families of matrices to triangular or diagonal form by unitary congruences",
Linear Multilinear Algebra, 17 (1985), 271–288 を参照。
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