下記の2行2列の行列について、固有値と固有ベクトルを求めた結果をまとめておきます。
\(\displaystyle \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}\)
ここで\(a,b,c,d\)は実数または複素数です。
2行2列行列の固有値
まず、固有値を求めます。
特性方程式は、
\(\displaystyle \det \begin{bmatrix} t-a&-b\\-c&t-d\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle =t^2-(a+d)t+(ad-bc)\)
ですから、固有値\(λ_1,λ_2\)は解の公式をつかって
\(\displaystyle λ_1=\frac{1}{2}\left( a+d-\sqrt{(a-d)^2+4bc}\right)\)
\(\displaystyle λ_2=\frac{1}{2}\left( a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}\right)\)
となります。
この式をみてわかるように、
\((a-d)^2+4bc=0\)
の時は２つの固有値が重複(\(λ_1=λ_2\))となります。
2行2列行列の固有ベクトル
それぞれの固有値に対する固有ベクトルは、結論を要約すると、
- \(b \not=0\)の場合、固有値\(λ_1,λ_2\)の固有ベクトルは
\(\displaystyle \begin{bmatrix} b\\λ_1-a\end{bmatrix}\)と\(\displaystyle \begin{bmatrix} b\\λ_2-a\end{bmatrix}\\{} \) - \(c \not=0\)の場合、固有値\(λ_1,λ_2\)の固有ベクトルは
\(\displaystyle \begin{bmatrix} λ_1-d\\c\end{bmatrix}\)と\(\displaystyle \begin{bmatrix} λ_2-d\\c\end{bmatrix}\\{} \) - \(b=c=0\)の場合、固有値\(a,d\)の固有ベクトルは
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}と\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}\\ \)
と書き表すことができます。
随伴行列を使った固有ベクトルの求め方
定義に従って計算することで上記の結果を得ることができますが、随伴行列を使うと計算の見通しがよくなります。
2次の正方行列は随伴行列が簡単な形であらわされるのでこれが使えます。
行列 \( A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) に対し、
\( \lambda \) をその固有値(の一つ)とすると
\lambda I -A=
\begin{bmatrix}
\lambda -a & -b \\
-c & \lambda-d
\end{bmatrix}\\
\( \det(\lambda I-A)=0 \)で、その随伴行列は
\operatorname{adj}(\lambda I -A)=
\begin{bmatrix}
\lambda -d & b \\
c & \lambda -a
\end{bmatrix}
\\
ですから、随伴行列の性質より
(\lambda I-A)\operatorname{adj}(\lambda I-A)
=\det(\lambda I-A)I
＝0 \\
\; \\
(\lambda I-A)
\begin{bmatrix} \lambda -d & b \\ c & \lambda -a \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 0& 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\
\;\\
(\lambda I-A) \begin{bmatrix} \lambda -d \\ c \end{bmatrix}
= (\lambda I-A) \begin{bmatrix} b \\ \lambda -a \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\\
となります。これは、
\lambda
\begin{bmatrix} \lambda -d \\ c \end{bmatrix}
=A
\begin{bmatrix} \lambda -d \\ c \end{bmatrix}
\\
\; \\
\lambda \begin{bmatrix} b \\ \lambda -a \end{bmatrix}
=A
\begin{bmatrix} b \\ \lambda -a \end{bmatrix}
ですから、随伴行列の縦ベクトルが固有ベクトルになっていることがわかります。
固有ベクトルがゼロベクトルにならないように、また\(b=c=0\)の場合\(a,d\)がその固有値であることに注意すると、最初に示した公式の形にまとめることができます。
参考問題：
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