定理 2.5.4. \( A \in M_n \) が正規行列であり、異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を持ち、それぞれの重複度が \( n_1, \ldots, n_d \) であるとします。次のように定義します：
\Lambda = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d}
また、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) に対して \( A = U \Lambda U^* \) であるとします。
(a) \( A = V \Lambda V^* \) となるユニタリ行列 \( V \in M_n \) が存在することと、各 \( W_i \in M_{n_i} \) がユニタリであり、次のような関係が成り立つことは同値です：
U = V(W_1 \oplus \cdots \oplus W_d)
(b) 2つの正規行列がユニタリ類似であることと、それらが同じ固有値を持つことは同値です。
証明：
(a) \( U \Lambda U^* = V \Lambda V^* \) ならば、
\Lambda U^* V = U^* V \Lambda
よって、\( W = U^* V \) はユニタリかつ \( \Lambda \) と可換であり、(定理 2.4.4.2 により) \( \Lambda \) と整合するブロック対角行列となります。
逆に、もし \( U = VW \) かつ \( W = W_1 \oplus \cdots \oplus W_d \), 各 \( W_i \in M_{n_i} \) がユニタリならば、\( W \) は \( \Lambda \) と可換であり、
U \Lambda U^* = VW \Lambda W^* V^* = V \Lambda WW^* V^* = V \Lambda V^*
が成り立ちます。
(b) もし \( B = V \Lambda V^* \) であるならば、
(UV^*) B (UV^*)^* = U \Lambda U^* = A
となり、\( B \) は \( A \) にユニタリ類似です。逆に、\( B \) が \( A \) にユニタリ類似であれば、それらは同じ固有値を持ちます。正規行列にユニタリ類似であるならば、それ自体も正規行列です。
定理 2.5.5. \( N \subseteq M_n \) を正規行列の空でない族とします。このとき、次の2つは同値です：
- \( N \) が可換な族である。
- \( N \) が同時にユニタリ対角化可能な族である。
任意の \( A_0 \in N \) およびその固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) の任意の順序に対して、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して：
U^* A_0 U = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)
かつ、すべての \( B \in N \) に対して \( U^* B U \) も対角行列になります。
練習問題： (2.3.3) と「三角行列で正規なら対角行列である」という事実を使って、定理 (2.5.5) を証明せよ。\( A_0 \) に関する最終的な主張は、(1.3.21) の証明と同様に、任意の置換行列がユニタリであることから導かれます。
定理 (2.5.3) をエルミート行列の場合に適用することで、エルミート行列のスペクトル定理と呼ばれる基本的な結果が得られます。
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