1.1 固有値と固有ベクトルの方程式
行列 \( A \in M_n \) は、複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^n \) から \( \mathbb{C}^n \) への線形変換として
次のように定義できます：
\[A : x \mapsto Ax \tag{1.1.1}\]
ただし、行列を単なる数の配列として捉えることも有用です。これら2つの見方――線形変換と数の配列――の相互作用こそが、行列解析の中心的テーマであり、応用上も極めて重要です。行列解析における基本概念のひとつが、正方行列の固有値の集合です。
定義 1.1.2
行列 \( A \in M_n \) に対して、スカラー \( \lambda \in \mathbb{C} \) と零でないベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) が次の方程式を満たすとき、
\[Ax = \lambda x,\quad x \neq 0 \tag{1.1.3}\]
\( \lambda \) を \( A \) の固有値、\( x \) をその固有値に対応する固有ベクトルと呼びます。ペア \( (\lambda, x) \) は \( A \) の固有対（eigenpair）です。固有ベクトルがゼロベクトルであってはならないという点が、定義上きわめて重要です。
練習問題
対角行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) \) に対して、標準基底ベクトル \( e_i\ (i = 1, \dots, n) \) が固有ベクトルであることを説明し、それぞれに対応する固有値を求めなさい。
式 (1.1.3) は次のように変形できます：
\[(\lambda I - A)x = 0\]
これは同次線形方程式系です。非自明な解 \( x \neq 0 \) が存在するならば、\( \lambda \) は \( A \) の固有値であり、\( \lambda I - A \) は特異行列（singular matrix）です。逆に、もし \( \lambda I - A \) が特異ならば、零でない \( x \) に対して \( Ax = \lambda x \) を満たすため、\( \lambda \) は固有値です。
定義 1.1.4
\( A \in M_n \) に対し、\( A \) のスペクトル \( \sigma(A) \) を、\( A \) の固有値全体の集合と定義します：
\[\sigma(A) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda \text{ は } A \text{ の固有値} \}\]
この時点では、\( \sigma(A) \) が空集合であるか、そうでなければ有限か無限かもまだわかっていません。
練習問題
もし \( x \) が \( A \) の固有値 \( \lambda \) に対応する固有ベクトルであるならば、任意の非零スカラー倍 \( \alpha x \) も固有ベクトルとなることを示しなさい。
また、しばしば固有ベクトルを正規化して長さ1の単位ベクトルにすることが有用です：
\[\xi = \frac{x}{\|x\|_2}\]
ただし、この操作によって固有ベクトルの一意性は失われません。たとえば、\( \lambda, e^{i\theta} \xi \) もまた固有対となります（任意の \( \theta \in \mathbb{R} \) に対して）。
観察 1.1.7
行列 \( A \in M_n \) が特異であることと、\( 0 \in \sigma(A) \) であることは同値です。
なぜなら、\( A \) が特異ならば \( Ax = 0 \) を満たす \( x \neq 0 \) が存在し、それはすなわち \( Ax = 0x \) を意味するからです。したがって、\( \lambda = 0 \) は \( A \) の固有値です。
観察 1.1.8
\( A \in M_n \)、\( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) に対して、次が成り立ちます：
\[\lambda \in \sigma(A) \iff \lambda + \mu \in \sigma(A + \mu I)\]
証明：\( \lambda \in \sigma(A) \) ならば、ある \( x \neq 0 \) が存在して \( Ax = \lambda x \) を満たすので、次が成り立ちます：
\[(A + \mu I)x = Ax + \mu x = (\lambda + \mu)x\]
よって \( \lambda + \mu \in \sigma(A + \mu I) \)。逆も同様に示せます。
定理 1.1.9
任意の \( A \in M_n \) に対して、必ず少なくとも1つの固有値が存在します。実際、任意の \( y \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\} \) に対して、次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( g(t) \) が存在し、\( g(A)y \) は \( A \) の固有ベクトルとなります。
証明略（ご希望あれば追加可）。
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