2.6.問題34
2.6.P34
\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, \lambda_n(A^2)\)、特異値をそれぞれ \(\sigma_1(A), \ldots, \sigma_n(A)\) および \(\sigma_1(A^2), \ldots, \sigma_n(A^2)\) とする。
(a) Schur の不等式 (2.3.2a) を \(A^2\) に適用して次の不等式を導け：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)
(b) 複合行列 \(C_2(A)\) に Schur の不等式を適用して次の不等式を導け：
\sum_{1 \le i \lt j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2 \le \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)(c) 次を示せ：
(\mathrm{tr} AA^*)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) + 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)(d) 次を示せ：
\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) \\
= 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) - 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)
(e) 次を示せ：
\left( \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \right)^2 \\
= \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2(f) 結論として次の不等式が成り立つ：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\
\le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) }
これは Schur の不等式 (2.3.2a) を強化したものである。
もし \(A\) が正規なら、(2.6.9) は等号となる理由を説明せよ。
また、(2.6.9) が等号となるのは、かつそのときに限り \(A^2\) および \(C_2(A)\) が正規である場合である理由を説明せよ。
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