[行列解析2.6.p25]階数 r 行列の特異値付き分解形

2.6.P25

2.6.問題25

\(A \in M_n\) で、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とする。

正の特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) を \(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\) とする。

ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と行列 \(K \in M_r\)、\(L \in M_{r,n-r}\) が存在して次が成り立つことを示せ：

(2.6.9)

A = U \begin{pmatrix} \Sigma_r K & \Sigma_r L \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix} U^*, \quad K K^* + L L^* = I_r

まず \(A\) の特異値分解を用いて、ユニタリ行列により \(\Sigma_r\) を含む標準形に直す。

その後、右側のユニタリ行列をブロック分割し、左側と同一のユニタリ行列で合同変換することで所望の形に整理する。

最後にユニタリ性から \(K K^* + L L^* = I_r\) が従うことを確認する。

\(\mathrm{rank}(A)=r<n\) とする。特異値分解により、ユニタリ行列 \(U_0,V_0\in M_n\) が存在して

A = U_0 \begin{pmatrix} \Sigma_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix} V_0^*

と書ける。ただし \(\Sigma_r=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\)、\(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r>0\) である。

ここで \(V_0\) を列で分割して

\(V_0^* U_0\) はユニタリで、その最初の \(r\) 行と\(r\)列に分割するブロック行列に分解すると、

V_0^* U_0 =\begin{bmatrix} K &L \\ X & Y \end{bmatrix} \\ \quad K \in M_{r},\, L \in M_{r,n-r}, \\ X \in M_{n-r,r},\, Y \in M_{n-r}

と書けば、\(K\in M_r\)、\(L\in M_{r,n-r}\) となる。

A = U_0 \begin{bmatrix} \Sigma_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix} V_0^* U_0 U_0^* =U_0 \begin{bmatrix} \Sigma_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K & L \\ X & Y_{n-r} \end{bmatrix} U_0^*

であるので、 \(U=U_0\) とおくと、

A = U \begin{pmatrix} \Sigma_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V_0^* = U \begin{pmatrix} \Sigma_r K & \Sigma_r L \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix} U^*

を得る。

最後に、\(V_0^* U_0\) がユニタリであることから

(V_0^*U_0)(V_0^*U_0)^* =\begin{bmatrix} K &L \\ X & Y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K^* &X^* \\ L^* & Y^* \end{bmatrix} = I_n \\ \begin{bmatrix} K K^*+L L^* & K X^*+L Y^* \\ XK^*+Y L^* & X X^*+ Y Y^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{bmatrix}

であり、その左上 \(r\times r\) ブロックを比較すると

K K^* + L L^* = I_r

が従う。以上により所望の表示が得られた。