2.6.問題23
2.6.P23
\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとする。
\(A\) がユニタリ合同で次の形式に変形できることの証明の概要について詳細を示せ：
\sigma_1
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\sigma_r
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) は \(A\) の正の特異値である。
(a) \(\mathrm{range}(A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。
(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^*\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^* A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。
(c) \(U^*AU = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。
(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。
(e) \(Z = V \oplus W\) とすると、\(Z^* (U^*AU) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて先の形式と類似である。
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