[行列解析2.6.p23]自己消滅行列のユニタリ合同標準形

2.6.P23

2.6.問題23

\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとする。

\(A\) がユニタリ合同で次の形式に変形できることの証明の概要について詳細を示せ：

(2.6.8)

\sigma_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus \cdots \oplus \sigma_r \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}

ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) は \(A\) の正の特異値である。

(a) \(\mathrm{range}(A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。

(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^*\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^* A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。

(c) \(U^*AU = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。

(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。

(e) \(Z = V \oplus W\) とすると、\(Z^* (U^*AU) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて先の形式と相似である。

ヒント

\(A^2 = 0\) であることから、\(A\) の像は零空間に含まれる。

したがって \(\mathrm{rank}(A)=r\) とすると次元に関する制約 \(2r \le n\) が従う。

次に、\(A^*\) の零空間と \(A\) の像の関係を用いて適切なユニタリ基底を構成する。

基底に関する表示では、\(A\) は上三角ブロック行列の形になり、非零部分に特異値分解を適用すればよい。

解答例

(a) \(A^2 = 0\) であるから、任意の \(x\) に対して \(A(Ax)=0\) である。したがって \(Ax \in \mathrm{nullspace}(A)\) であり、 \(\mathrm{range}(A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) が従う。

\(\mathrm{rank}(A)=r\) とすると \(\dim \mathrm{range}(A)=r\) であり、 \(\dim \mathrm{nullspace}(A)=n-r\) であるから、 \(r \le n-r\)、すなわち \(2r \le n\) が成り立つ。

(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^*\) の零空間の正規直交基底とする。このとき \(A^* U_2 = 0\) であるから、 \(U_2^* A = 0\) が成り立つ。

一方、\(\mathrm{range}(A)\) は \((\mathrm{nullspace}(A^*))^\perp\) に一致する。したがって \(\mathrm{range}(A)\) の正規直交基底を列にもつ行列 \(U_1 \in M_{n,r}\) を取ると、 \(U = [U_1 \; U_2]\) はユニタリ行列となる。

さらに \(\mathrm{range}(A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるから、 \(AU_1 = 0\) が成り立つ。

(c) この基底に関する表示を計算すると、

U^* A U = \begin{pmatrix} U_1^* A U_1 & U_1^* A U_2 \\ U_2^* A U_1 & U_2^* A U_2 \end{pmatrix}

ここで \(AU_1=0\)、\(U_2^*A=0\) より

U^* A U = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

となる。ただし \(B = U_1^* A U_2 \in M_{r,n-r}\) である。

\(\mathrm{rank}(A)=r\) であるから、この表示から \(\mathrm{rank}(B)=r\) が従う。

(d) 行列 \(B\) に特異値分解を適用すると、

B = V \begin{pmatrix} \Sigma_r & 0_{r,n-2r} \end{pmatrix} W^*

と書ける。ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ行列であり、 \(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\) は正の特異値を並べた対角行列である。

(e) \(Z = V \oplus W\) とおくと、

Z^* (U^* A U) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}

となる。最後に適当な置換行列によって各 \(\sigma_i\) ごとに

\sigma_i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

の直和の形に並べ替えることができる。

以上より、\(A\) はユニタリ合同により \(\sigma_1 \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \oplus \cdots \oplus \sigma_r \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\) の形に変形できる。