2.6.6
系 2.6.6.
\(A \in M_n\) をランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) をもつ行列とする。
(a) （オートン） \(A = A^T\) であることは、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と非負の対角行列 \(\Sigma\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\) と表せることと同値である。 \(\Sigma\) の対角成分は \(A\) の特異値である。
(b) \(A = -A^T\) の場合、\(r\) は偶数であり、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と正の実数 \(s_1, \ldots, s_{r/2}\) が存在して
A = U
\Bigl(
\begin{bmatrix} 0 & s_1 \\ -s_1 & 0 \end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix} 0 & s_{r/2} \\ -s_{r/2} & 0 \end{bmatrix}
\oplus 0_{n-r}
\Bigr) U^T
\tag{2.6.6.1}
が成り立つ。非零の特異値は \(s_1, s_1, \ldots, s_{r/2}, s_{r/2}\) である。逆に、式 (2.6.6.1) の形を持つ任意の行列は斜対称である。
証明.
(a) もし \(A = U \Sigma U^T\) とユニタリ行列 \(U \in M_n\) および非負対角行列 \(\Sigma\) で表されるなら、\(A\) は対称であり、\(\Sigma\) の対角成分は特異値である。
逆に、\(s_1, \ldots, s_d\) を \(A\) の異なる正の特異値（順序任意）、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とすると、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を \(V, W \in M_n\) ユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d} \oplus 0_{n-r}\) として取る（非正則なら零ブロックは存在しない）。
このとき
\(A = V \Sigma W^* = \overline{W} \Sigma \overline{V}^* = A\) であるから、前定理よりユニタリ行列 \(U_W, U_V\) が存在して \(\overline{V} = W U_W, \overline{W} = V U_V\) となり、各 \(U_i\) はユニタリで対称となる。
系 2.5.20a より各 \(U_i\) に対して対称ユニタリ行列 \(R_i\) が存在して \(R_i^2 = U_i\) となる。
ここで \(R = R_1 \oplus \cdots \oplus R_d \oplus I_{n-r}\) とおくと、\(R\) は対称かつユニタリであり、\(U_V \Sigma = R^2 \Sigma = R \Sigma R\) となるので、\(A = \overline{W} \Sigma V^T = V U_V \Sigma V^T = V R \Sigma R V^T = (V R) \Sigma (V R)^T\) は所望の形の因数分解である。
(b) 恒等式 \(V \Sigma W^* = - \overline{W} \Sigma V^T = - \overline{W} \Sigma \overline{V}^*\) から、(a) と同様の手順で \(\overline{V} = W U_W, \overline{W} = -V U_V\) となり、\(U_j = -U_j^T\) すなわち各 \(U_j\) はユニタリかつ斜対称となる。系 2.5.18b により、各 \(n_j\) は偶数であり、実直交行列 \(Q_j\) と実パラメータ \(\theta^{(j)}_1, \ldots, \theta^{(j)}_{n_j/2} \in [0,2\pi)\) が存在して
U_j = Q_j
\Bigl(
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} e^{i \theta^{(j)}_1}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} e^{i \theta^{(j)}_{n_j/2}}
\Bigr) Q_j^T
と表される。
ここで実直交行列 \(Q = Q_1 \oplus \cdots \oplus Q_d \oplus I_{n-r}\) および斜対称ユニタリ行列 \(S_j = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} e^{i \theta^{(j)}_1} \oplus \cdots \oplus \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} e^{i \theta^{(j)}_{n_j/2}} \) とおくと、\(S = S_1 \oplus \cdots \oplus S_d \oplus 0_{n-r}\) であり、
\(UV \Sigma = Q S Q^T \Sigma = Q S \Sigma Q^T\) となるので、
\(A = - \overline{W} \Sigma V^T = V U_V \Sigma V^T = V Q S \Sigma Q^T V^T = (V Q) S \Sigma (V Q)^T\) は所望の形の因数分解であり、ランク \(A = n_1 + \cdots + n_d\) は偶数である。 □
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