2.6.5
定理 2.6.5 （オートンの一意性定理）.
\( A \in M_{n,m} \) をランク \(\mathrm{rank}(A) = r\) をもつ行列とする。\( s_1, \ldots, s_d \) を \(A\) の異なる正の特異値（順序は任意）とし、それぞれの重複度を \( n_1, \ldots, n_d \) とする。さらに
\Sigma_d = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d} \in M_r
とおく。このとき特異値分解 \( A = V \Sigma W^* \) が存在し、
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_d & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \in M_{n,m}
であり、したがって
\Sigma^T \Sigma = s_1^2 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d^2 I_{n_d} \oplus 0_{n-r},
\qquad
\Sigma \Sigma^T = s_1^2 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d^2 I_{n_d} \oplus 0_{m-r}
（ただし \(A\) がフルランクなら一方の零直和項が消え、\(A\) が正則な正方行列なら両方とも消える）。
\(\hat{V} \in M_n, \hat{W} \in M_m\) をユニタリ行列とする。このとき、
A = \hat{V} \Sigma \hat{W}^*
が成り立つための必要十分条件は、ユニタリ行列 \( U_1 \in M_{n_1}, \ldots, U_d \in M_{n_d}, \tilde{V} \in M_{n-r}, \tilde{W} \in M_{m-r} \) が存在して
\hat{V} = V (U_1 \oplus \cdots \oplus U_d \oplus \tilde{V}),
\qquad
\hat{W} = W (U_1 \oplus \cdots \oplus U_d \oplus \tilde{W})
\tag{2.6.5.1}
が成り立つことである。さらに \(A\) が実行列であり、かつ \(V, W, \hat{V}, \hat{W}\) が実直交行列ならば、\(U_1, \ldots, U_d, \tilde{V}, \tilde{W}\) も実直交行列としてとることができる。
証明. エルミート行列 \( A^* A \) は
A^* A = (V \Sigma W^*)^* (V \Sigma W^*) = W \Sigma^T \Sigma W^*
と表される。また同様に
A^* A = \hat{W} \Sigma^T \Sigma \hat{W}^*
とも表される。定理 2.5.4 より、ユニタリ行列 \(W_1, \ldots, W_d, W_{d+1}\) が存在して、それぞれ \( W_i \in M_{n_i} \, (i=1,\ldots,d) \) となり、
\hat{W} = W (W_1 \oplus \cdots \oplus W_d \oplus W_{d+1})
が成り立つ。また、
A A^* = V \Sigma \Sigma^T V^* = \hat{V} \Sigma \Sigma^T \hat{V}^*
であるから、再び定理 2.5.4 より、ユニタリ行列 \(V_1, \ldots, V_d, V_{d+1}\) が存在し、それぞれ \( V_i \in M_{n_i} \, (i=1,\ldots,d)\) であって
\hat{V} = V (V_1 \oplus \cdots \oplus V_d \oplus V_{d+1})
が成り立つ。ここで \( A = V \Sigma W^* = \hat{V} \Sigma \hat{W}^* \) であるから、
\Sigma = (V^* \hat{V}) \Sigma (\hat{W}^* W)
が従う。すなわち各 \( i = 1,\ldots,d+1 \) に対して
s_i I_{n_i} = V_i (s_i I_{n_i}) W_i^*
が成り立ち、したがって \( V_i W_i^* = I_{n_i} \) である。従って \( i=1,\ldots,d \) に対して \( V_i = W_i \) となる。もし \(\tilde{V}, \tilde{W}\) が存在する場合、それらは任意に選ぶことができる。最後の主張は、上の議論と \( V^T \hat{V}, W^T \hat{W} \) が実行列であるという事実から従う。 □
特異値分解は行列解析において極めて重要な道具であり、工学、数値計算、統計、画像圧縮をはじめとする多くの分野に応用される。詳細については Horn and Johnson (1991) の第7章および第3章を参照されたい。
最後に、この章を閉じるにあたり、上の一意性定理の3つの応用を述べる：対称行列や反対称行列の特異値分解はユニタリ合同として選ぶことができ、また実行列は3つの因子すべてが実行列となる特異値分解を持つ。
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