2.6.問題集
2.6.P1
\(A \in M_{n,m}\) とし、\(n \ge m\) とする。
行列 \(A\) が列フルランクを持つことと、その特異値がすべて正であることが同値であることを示せ。
2.6.P2
\(A, B \in M_{n,m}\) がユニタリ合同で同時対角化可能であるとする。
すなわち、ユニタリ行列 \(X \in M_n\) および \(Y \in M_m\) が存在して、\(X^* A Y = \Sigma\)、\(X^* B Y = M\) が対角行列になるとする。
このとき、\(AB^*\) および \(B^*A\) が正規行列であることを示せ。
2.6.P3
\(A, B \in M_{n,m}\) が同時にユニタリ合同で対角行列にできるのはいつか？
\(AB^*\) および \(B^*A\) が両方正規であることと、ユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \in M_m\) が存在して \(A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^*\) となり、\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは同値であることを示せ。
2.6.P4
\(A, B \in M_{n,m}\) が同時に実対角または非負実対角行列にユニタリ合同できるのはいつか？
(a) \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方エルミートであることと、ユニタリ行列 \(X \in M_n, Y \in M_m\) が存在して \(A = X \Sigma Y^*, B = X \Delta Y^*\)、\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは同値であることを示せ。
(b) \(A, B\) が実行列の場合、\(AB^T\) および \(B^T A\) が両方対称であることと、実直交行列 \(X \in M_n(\mathbb{R}), Y \in M_m(\mathbb{R})\) が存在して \(A = X \Sigma Y^T, B = X \Delta Y^T\)、\(\Sigma, \Delta \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) が対角で、\(\Sigma\) が形式 (2.6.3.1,2) に従うことは同値であることを示せ。
(c) (a)(b) の場合において、\(\Delta\) の対角成分を非負にできるのは、\(AB^*\) および \(B^*A\) のエルミート行列の固有値がすべて非負である場合に限ることを示せ。
2.6.P5
\(A \in M_{n,m}\) とし、\(A = B + i C\) と書く。
ここで \(B, C \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) とする。このとき、実直交行列 \(X \in M_n(\mathbb{R})\)、\(Y \in M_m(\mathbb{R})\) が存在して \(A = X \Delta Y^T\) となり、\(\Delta \in M_{n,m}(\mathbb{C})\) が対角であることと、\(BC^T\) および \(C^T B\) が両方対称であることは同値であることを示せ。
2.6.P6
\(A \in M_n\) とし、QR分解 \(A = QR\) を考える。
(a) QRが正規であることと RQ が正規であることは同値である理由を説明せ。
(b) \(A\) が正規であることと、\(Q\) および \(R^*\) がユニタリ合同で同時に対角化可能であることは同値であることを示せ。
2.6.P7
同じサイズの2つの複素行列がユニタリ合同であるのは、特異値が一致する場合に限ることを示せ。
2.6.P8
\(A \in M_{n,k}\)、\(B \in M_{k,m}\) を与える。
特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(AB) \le \min\{\mathrm{rank}(A), \mathrm{rank}(B)\}\) であることを示せ。
2.6.P9
\(A \in M_n\) とし、ランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) とする。降順の正の特異値 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) から \(\Sigma_1 = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\) を作り、\(\Sigma = \Sigma_1 \oplus 0_{n-r}\) とする。ユニタリ行列 \(W \in M_n\) が存在して \(A^* A = W \Sigma^2 W^*\) となるとき、ユニタリ \(V \in M_n\) が存在して \(A = V \Sigma W^*\) となることを示せ。
2.6.P10
\(A, B \in M_n\) を与え、\(A\) の特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) とし、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) とする。次の三つの条件が同値であることを示せ：
(a) \(A^* A = B^* B\);
(b) ユニタリ行列 \(W, X, Y \in M_n\) が存在して \(A = X \Sigma W^*\) および \(B = Y \Sigma W^*\);
(c) ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(B = UA\)。一般化については (7.3.11) を参照。
2.6.P11
\(A \in M_{n,m}\) および正規行列 \(B \in M_m\) を与える。
このとき、\(A^* A\) が \(B\) と可換であることと、ユニタリ行列 \(V \in M_n\)、\(W \in M_m\) および対角行列 \(\Sigma \in M_{n,m}, \Delta \in M_m\) が存在して \(A = V \Sigma W^*\)、\(B = W \Delta W^*\) となることは同値であることを示せ。
2.6.P12
\(A \in M_n\) の特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を考える。
ここで \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\)、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とする。
(a) 余因子行列 \(\mathrm{adj} A\) の特異値分解は \(\mathrm{adj} A = X^* S Y\) であり、ここで \(X = (\det W)(\mathrm{adj} W)\)、\(Y = (\det V)(\mathrm{adj} V)\)、\(S = \mathrm{diag}(s_1, \ldots, s_n)\) で、各 \(s_i = \prod_{j \ne i} \sigma_j\) であることを示せ。
(b) (a) を用いて、\(\mathrm{rank} A \le n-2\) のとき \(\mathrm{adj} A = 0\) となることを説明せ。
(c) \(\mathrm{rank} A = n-1\) で、\(v_n, w_n \in \mathbb{C}^n\) が \(V, W\) の最後の列であるとき、\(\mathrm{adj} A = \sigma_1 \cdots \sigma_{n-1} e^{i\theta} w_n v_n^*\) であり、ここで \(\det(V W^*) = e^{i \theta}\)、\(\theta \in \mathbb{R}\) であることを示せ。
2.6.P13
\(A \in M_n\) とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。
(a) \(A\) がユニタリであることと \(\Sigma = I\) であることは同値であることを示せ。
(b) \(A\) がユニタリ行列のスカラー倍であることは、\(x, y \in \mathbb{C}^n\) が直交するとき \(Ax\) と \(Ay\) も直交することと同値であることを示せ。
2.6.P14
\(A \in M_n\) を与える。
(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1} |\lambda_1|, \ldots, e^{i\theta_n} |\lambda_n|)\) とする。ここで \(D = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n})\)、\(\Sigma = \mathrm{diag}(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|)\) とする。なぜ \(A = (UD)\Sigma U^*\) が \(A\) の特異値分解であり、特異値が固有値の絶対値であるかを説明せよ。
(b) \(s_1, \ldots, s_d\) を \(A\) の異なる特異値とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。ここで \(V, W \in M_n\) はユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d}\) とする。\(A\) が正規であることと、\(\Sigma\) に対応したブロック対角ユニタリ行列 \(U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_d\) が存在して \(V = WU\) となることは同値であることを示せ。
(c) \(A\) が正規で異なる特異値を持つ場合、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) において、なぜ \(V = W D\) が成り立つかを説明せよ。ここで \(D\) は対角ユニタリ行列である。異なる特異値の仮定は \(A\) の固有値について何を意味するか？
2.6.P15
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) の順に並べる。
(a)
\sum_{i,j=1}^{n} |a_{ij}|^2 = \mathrm{tr}(A^* A) = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(b)
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2等号成立は \(A\) が正規である場合に限る（シュールの不等式）。
(c) \(\sigma_i = |\lambda_i|\) が全ての \(i = 1, \ldots, n\) で成り立つことと \(A\) が正規であることは同値である。
(d) \(|a_{ii}| = \sigma_i\) が全ての \(i\) で成り立つ場合、\(A\) は対角行列。
(e) \(A\) が正規で \(|a_{ii}| = |\lambda_i|\) が全ての \(i\) で成り立つ場合、\(A\) は対角行列である。
2.6.P16
\(U, V \in M_n\) がユニタリである。
(a) 常にユニタリ行列 \(X, Y \in M_n\) と対角ユニタリ \(D \in M_n\) が存在して \(U = X D Y\)、\(V = Y^* D X^*\) となることを示せ。
(b) \(A \mapsto UAV = X D Y A Y^* D X^*\) によるユニタリ合同写像が、ユニタリ相似、対角ユニタリ合同、ユニタリ相似の合成であることを説明せよ。
2.6.P17
\(A \in M_{n,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(AA^*) = \mathrm{rank}(A^*A)\) が成り立つことを説明せよ。
2.6.P18
\(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。
(a) \(A\) がユニタリ合同で
\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}
となることを示せ（1.1.P5参照）。
(b) \(X = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。\(A\) は \(V \oplus W\) を用いて
\begin{pmatrix} I_r & \Sigma \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}
にユニタリ合同であることが示される。このとき、\(A\) の特異値は \((I_r + \Sigma \Sigma^T) \oplus 0_{n-r}\) の対角成分であり、\(\sigma_1, \ldots, \sigma_g\) を 1 より大きい特異値とする。
(c) \(A\) はユニタリ合同で次の形式にあることを示せ：
0_{n-r-g} \oplus I_{r-g} \oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_1^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus \cdots \\ \quad \quad \quad \quad \cdots \oplus
\begin{pmatrix} 1 & (\sigma_g^2 - 1)^{1/2} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
2.6.P19
\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11} \in M_k, U_{22} \in M_\ell\)、かつ \(k \le \ell\) とする。ブロック行列の特異値（非増加順）は次の関係式を満たす：
\sigma_i(U_{11}) = \sigma_i(U_{22}), \quad \\
\sigma_i(U_{12}) = \sigma_i(U_{21}) = \sqrt{1 - \sigma_{k-i+1}^2(U_{11})}, \quad \\
i = 1, \ldots, k
また、\(\sigma_i(U_{22}) = 1\) が \(i = k+1, \ldots, \ell\) で成り立つ。特に、\(|\det U_{11}| = |\det U_{22}|\) であり、\(\det U_{12} U_{12}^* = \det U_{21}^* U_{21}\) が成り立つ。これらの結果が (2.1.10) を示す理由を説明せよ。
2.6.P20
\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。
もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。
この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための2つのアプローチについて詳細を示せ。
(a) \(A_\varepsilon = A + \varepsilon I\) を考え、(2.1.8) および (2.6.4) を使用する。
(b) \(U_1 \in M_{n,\nu}\) の列を \(A\) の零空間の正規直交基底とし、\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとする。UT AU を
[ A_{ij} ]_{i,j=1}^2
と分割したとき、\(A_{11}, A_{12}, A_{21}\) は零行列であり、\(A_{22}\) は正則かつ対称である理由を説明せよ。
2.6.P21
\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。\(A \bar B\) が正規であることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B = U \Lambda U^T\)、\(\Sigma, \Lambda \in M_n\) が対角行列であり、\(\Sigma\) の対角成分が非負であることは同値であることを示せ。
2.6.P22
\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。
(a) \(A \bar B\) がエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B = U \Lambda U^T\)、\(\Sigma, \Lambda \in M_n(\mathbb{R})\) が対角行列であり、\(\Sigma\) の対角成分が非負であることは同値であることを示せ。
(b) \(A \bar B\) がエルミートでかつ非負固有値を持つことと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B = U \Lambda U^T\)、\(\Sigma, \Lambda \in M_n(\mathbb{R})\) が対角行列であり、\(\Sigma\) および \(\Lambda\) の対角成分が非負であることは同値であることを示せ。
2.6.P23
\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとする。
\(A\) がユニタリ合同で次の形式に変形できることの証明の概要について詳細を示せ：
\sigma_1
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\sigma_r
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\oplus 0_{n-2r}
ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) は \(A\) の正の特異値である。
(a) \(\mathrm{range}(A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。
(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^*\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^* A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。
(c) \(U^*AU = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。
(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。
(e) \(Z = V \oplus W\) とすると、\(Z^* (U^*AU) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて先の形式と類似である。
2.6.P24
\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \bar A = 0\) であるとする。
\(A\) がユニタリ合同で (2.6.8) の形式に変形できることの証明概要について詳細を示せ。
ここで \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r \gt 0\) は \(A\) の正の特異値である。
(a) \(\mathrm{range}(\bar A) \subseteq \mathrm{nullspace}(A)\) であるため、\(2r \le n\)。
(b) \(U_2 \in M_{n,n-r}\) の列を \(A^T\) の零空間の正規直交基底とし、\(U_2^T A = 0\) とする。\(U = [U_1 \; U_2] \in M_n\) をユニタリとしたとき、\(U_1 \in M_{n,r}\) の列は \(\bar A\) の像の正規直交基底であり、\(AU_1 = 0\) となる理由を説明せよ。
(c) \(U^T A U = \begin{pmatrix} 0 & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)、ここで \(B \in M_{r,n-r}\) であり \(\mathrm{rank}(B) = r\)。
(d) \(B = V [\Sigma_r \; 0_{r,n-2r}] W^*\)、ここで \(V \in M_r\)、\(W \in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\)。
(e) \(Z = \bar V \oplus W\) とすると、\(Z^T (U^T A U) Z = \begin{pmatrix} 0 & \Sigma_r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus 0_{n-2r}\)、これは置換行列を用いて (2.6.8) とユニタリ合同である。
別のアプローチは (3.4.P5) を参照せよ。
2.6.P25
\(A \in M_n\) で、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とする。
正の特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) を \(\Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r)\) とする。
ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と行列 \(K \in M_r\)、\(L \in M_{r,n-r}\) が存在して次が成り立つことを示せ：
A = U
\begin{pmatrix} \Sigma_r & K \\ 0 & L \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix}
U^*, \quad K K^* + L L^* = I_r
2.6.P26
\(A \in M_n\)、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とし、(2.6.9) の表現を考える。
(a) \(A\) が正規であることと、\(L = 0\) かつ \(\Sigma_r K = K \Sigma_r\) が同値であることを示せ。
(b) \(A^2 = 0\) であることと、\(K = 0\) であることが同値である（この場合 \(LL^* = I_r\)）。
(c) \(A^2 = 0\) であることと、\(A\) が (2.6.8) の形式の直和にユニタリ合同であることは同値である。
2.6.P27
\(A \in M_n\) が斜対称行列であるとする。
もし \(\mathrm{rank}(A) \le 1\) なら、なぜ \(A = 0\) となるか説明せよ。
2.6.P28
\(A \in M_n\) が EP 行列であるとは、\(\mathrm{range}(A)\) と \(\mathrm{range}(A^*)\) が同じであることを意味する。
すべての正規行列は EP 行列であり、正則行列（正規であるかどうかにかかわらず）も EP 行列である。
(a) \(A\) が EP 行列であり \(\mathrm{rank}(A) = r\) であることと、非特異行列 \(B \in M_r\) とユニタリ行列 \(V \in M_n\) が存在して \(A = V \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V^*\) となることは同値である。
(b) なぜ EP 行列がランク主導 (rank principal) であるか説明せよ。
2.6.P29
\(x \in \mathbb{C}^n\) が \(A \in M_n\) の正規固有ベクトルであり、対応する固有値を \(\lambda\) とするとき、\(|\lambda|\) が \(A\) の特異値であることを示せ。
2.6.P30
特異値分解を用いて、複素行列に対する (0.4.6(f)) を確認せよ：\(A \in M_{m,n}\) のランクが r であることは、非特異行列 \(S \in M_m\) および \(T \in M_n\) が存在して \(A = S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T\) となることと同値である。
2.6.P31
\(A \in M_{m,n}\) とする。
(a) 特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用いて、エルミート行列
\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pmatrix} \in M_{m+n}
が実行列
\begin{pmatrix} 0 & \Sigma \\ \Sigma^T & 0 \end{pmatrix}
とユニタリ合同であることを示せ。
(b) もし \(m = n\) かつ \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) であれば、\(A\) の固有値は \(\pm \sigma_1, \ldots, \pm \sigma_n\) となる理由を説明せよ。
2.6.P32
\(A \in M_n\) とし、
\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}
とする。
もし \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\) が \(A\) の特異値であるなら、\(\sigma_1, \sigma_1, \ldots, \sigma_n, \sigma_n\) がこの行列の特異値であることを示せ。
2.6.P33
\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。
複合行列 \(C_r(A)\) の特異値は、全ての可能な積 \(\sigma_{i_1} \cdots \sigma_{i_r}\) （ただし \(1 \le i_1 \lt \cdots \lt i_r \le n\)）であることを示せ。
また、\(\mathrm{tr}(C_r(A) C_r(A)^*) = \mathrm{tr} C_r(AA^*) = S_r(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)\) が \(C_r(A)\) の特異値の二乗和になる理由を説明せよ（1.2.14 参照）。
特に、\(\mathrm{tr} C_2(AA^*) = \sum_{1 \le i < j \le n}
2.6.P34
\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, \lambda_n(A^2)\)、特異値をそれぞれ \(\sigma_1(A), \ldots, \sigma_n(A)\) および \(\sigma_1(A^2), \ldots, \sigma_n(A^2)\) とする。
(a) Schur の不等式 (2.3.2a) を \(A^2\) に適用して次の不等式を導け：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)
(b) 複合行列 \(C_2(A)\) に Schur の不等式を適用して次の不等式を導け：
\sum_{1 \le i \lt j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2 \le \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)(c) 次を示せ：
(\mathrm{tr} AA^*)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) + 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} \sigma_i^2(A)\sigma_j^2(A)(d) 次を示せ：
\mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) \\
= 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^4(A) - 2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2(A^2)
(e) 次を示せ：
\left( \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \right)^2 \\
= \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^4 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} |\lambda_i(A)\lambda_j(A)|^2(f) 結論として次の不等式が成り立つ：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\
\le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^*)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) }
これは Schur の不等式 (2.3.2a) を強化したものである。
もし \(A\) が正規なら、(2.6.9) は等号となる理由を説明せよ。
また、(2.6.9) が等号となるのは、かつそのときに限り \(A^2\) および \(C_2(A)\) が正規である場合である理由を説明せよ。
2.6.P35
前問の表記を用いて次を示せ：
\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\
\le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^* - \frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2)^2 - \frac{1}{2} \mathrm{tr}((AA^* - A^*A)^2) + \frac{1}{n} |\mathrm{tr} A|^2 }
さらに、(2.6.10) の上界は (2.6.9) の上界以下であり、等号は \(\mathrm{tr} A = 0\) または \(A\) が正規のときに成立する理由を示せ。
2.6.P36
\(A \in M_n\) がランク r を持ち、正の異なる特異値を \(s_1, \ldots, s_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とし、特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を \(V, W \in M_n\) がユニタリ、\(\Sigma = s_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus s_d I_{n_d} \oplus 0_{n-r}\) とする。
(a) \(A\) が対称であることと、\(V = \bar W (S_1 \oplus \cdots \oplus S_d \oplus \tilde W)\) が成り立つことは同値である理由を説明せよ。
ここで \(\tilde W \in M_{n-r}\) はユニタリ、各 \(S_j \in M_{n_j}\) はユニタリかつ対称である。
(b) \(A\) の特異値が異なる場合（すなわち \(d \ge n-1\)）は、\(A\) が対称であることと、\(V = W \bar D\) が成り立つことは同値であり、ここで \(D \in M_n\) は対角ユニタリ行列である理由を説明せよ。
2.6.P37
\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つとする。
\(A = V \Sigma W^*\) および \(A = \hat V \Sigma \hat W^*\) が特異値分解である。
(a) \(A\) が正則の場合、\(\hat V = V D\)、\(\hat W = W D\) となる対角ユニタリ行列 \(D\) が存在する理由を説明せよ。
(b) \(A\) が特異の場合、\(\hat V = V D\)、\(\hat W = W \tilde D\) となる対角ユニタリ行列 \(D\) と \(\tilde D\) が存在し、両者は高々一つの対角要素が異なる理由を説明せよ。
2.6.P38
\(A \in M_n\) が正則で、\(\sigma_n\) が \(A + A^{-*}\) の最小特異値であるとする。\(\sigma_n \ge 2\) を示せ。
また、等号が成立する場合について考察せよ。
2.6.P39
\(A \in M_n\) が共反転行列 (coninvolutory) で、すなわち \(A\) が正則で \(A = \bar A^{-1}\) であるとする。
1 でない \(A\) の特異値が互いに逆数のペアで現れる理由を説明せよ。
2.6.P40
(2.4.5.1) の表記を用い、\(T\) と \(T'\) がユニタリ合同であるとする。
(a) 各 \(i,j = 1, \ldots, d\) に対して、\(T_{ij}\) と \(T'_{ij}\) の特異値が同じである必要がある理由を説明せよ。
(b) \(n = 2\) の場合、この必要条件は何を意味するか。
また、なぜこの場合に必要かつ十分であるか。
(c) \(n = 4\)、\(d = 2\) とし、例として
T_{11} = T'_{11} =
\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}、\\
T_{22} = T'_{22} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\ 0 & 2\end{pmatrix}、\\
T_{12} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}、\\
T'_{11} = \begin{pmatrix}0 & 4 \\ 3 & 0\end{pmatrix}とする。
この場合、(a) の必要条件が十分条件でない理由を説明せよ。
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