[行列解析2.5.P70]

2.5.問題70

2.5.P70

\( n \times n \) 複素行列の組 \((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) を考える。

あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、各 \( j = 1, \ldots, m \) に対して

 A_j = U B_j U^* 

が成り立つとき、これらの組は同時にユニタリ相似であるという。

次に、\((m+2) \times (m+2)\) ブロック行列 \(N_A = [N_{ij}]_{i,j=1}^k\) を次のように定める：

 N_{ij} = \begin{cases} I_n & (j = i+1), \\ A_i & (j = i+2), \\ 0 & (j - i \notin \{1,2\}). \end{cases} 

同様にして \(N_B\) を定める。

(a) \(N_A\) が \(N_B\) とユニタリ相似であることと、\((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) が同時にユニタリ相似であることが同値である理由を説明せよ。

(b) この性質をもつ他のブロック行列について述べよ。(c) 有限個の同じサイズの複素行列の組に対して、それらが同時にユニタリ相似かどうかを有限回の計算で検証または反証できる理由を説明せよ。

[行列解析2.5]

2.5ユニタリ相似（unitary similarity）の文脈で自然に現れる正規行列のクラスは、行列解析において広く重要な役割を果たします。正規行列には、ユニタリ行列、エルミート行列、反エルミート行列、実直交行列、実対称行列、および実反対...

am-gm.com

2025.08.27