[行列解析2.5.P70]同時ユニタリ相似とブロック行列

2.5.P70

2.5.問題70
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2.5.問題70

\( n \times n \) 複素行列の組 \((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) を考える。

あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、各 \( j = 1, \ldots, m \) に対して

A_j = U B_j U^*

が成り立つとき、これらの組は同時にユニタリ相似であるという。

次に、\((m+2) \times (m+2)\) ブロック行列 \(N_A = [N_{ij}]_{i,j=1}^k\) を次のように定める：

N_{ij} = \begin{cases} I_n & (j = i+1), \\ A_i & (j = i+2), \\ 0 & (j - i \notin \{1,2\}). \end{cases}

同様にして \(N_B\) を定める。

(a) \(N_A\) が \(N_B\) とユニタリ相似であることと、\((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) が同時にユニタリ相似であることが同値である理由を説明せよ。

(b) この性質をもつ他のブロック行列について述べよ。

(c) 有限個の同じサイズの複素行列の組に対して、それらが同時にユニタリ相似かどうかを有限回の計算で検証または反証できる理由を説明せよ。

ヒント

ブロックシフト行列の可換関係と、前問で扱ったブロック行列のユニタリ相似の特徴付けを用いる。

特に、ブロック行列全体のユニタリ相似が、各成分行列の同時ユニタリ相似に帰着される点に注目する。

解答例

(a) \( N_A \) と \( N_B \) がユニタリ相似であると仮定する。すなわち、あるユニタリ行列 \( W \) が存在して \( N_A = W N_B W^* \) が成り立つとする。

前問と同様に、\( N_A \) と \( N_B \) は第1超対角に \( I_n \)、第2超対角にそれぞれ \( A_i \)、\( B_i \) をもつブロック行列である。この構造から、\( W \) はブロック対角行列でなければならず、 \( W = U \oplus \cdots \oplus U \) と書ける。ただし \( U \) はあるユニタリ行列である。

このとき、ブロック成分を比較することで、任意の \( i = 1, \ldots, m \) に対して \( A_i = U B_i U^* \) が従う。したがって、\((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) は同時にユニタリ相似である。

逆に、あるユニタリ行列 \( U \) が存在して \( A_i = U B_i U^* \) がすべての \( i \) について成り立つと仮定する。このとき \( W = U \oplus \cdots \oplus U \) とおけば、直接計算により \( N_A = W N_B W^* \) が成り立つ。よって、\( N_A \) と \( N_B \) はユニタリ相似である。

以上より、\( N_A \) が \( N_B \) とユニタリ相似であることと、\((A_1, B_1), \ldots, (A_m, B_m)\) が同時にユニタリ相似であることは同値である。

(b) 同様の性質は、第1超対角に \( I_n \) を配置し、より高次の超対角に行列の組を配置したブロック行列や、ブロックジョルダン型の行列に対しても成り立つ。このような行列では、ユニタリ相似が各ブロック成分の同時ユニタリ相似を強制する。

(c) 有限個の同じサイズの複素行列の組については、(a) の構成により、それらを一つの有限サイズのブロック行列にまとめることができる。ユニタリ相似は、トレース不変量 \( \mathrm{tr}\, W(A,A^*) \) の有限個の比較によって判定可能であることが知られている。

したがって、同時ユニタリ相似かどうかは、有限回の行列計算によって検証または反証できる。