[行列解析2.5.P55]正規行列のユニタリ相似とトレース条件

2.5.P55

2.5.問題55

正規行列に関して (2.2.8) の改良を確認せよ：

\( A, B \in M_n \) が正規ならば、\( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることと

\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k), \quad k = 1, 2, \ldots, n

が成り立つことは同値である。

正規行列はユニタリ行列により対角化でき、その固有値は重複度込みで一意に定まる。

トレース \( \mathrm{tr}(A^k) \) は固有値の \( k \) 乗の和で表されるため、すべての \( k \) に対するトレース条件は固有値の一致を意味する。

まず \( A \) と \( B \) が正規行列であるから、あるユニタリ行列 \( U, V \) が存在して

A = U \Lambda U^*, \quad B = V \Gamma V^*

と対角化できる。

ただし \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \)、\( \Gamma = \mathrm{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n) \) はそれぞれの固有値を対角成分にもつ対角行列である。

このときトレースの性質より

\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(\Lambda^k) = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k, \quad \mathrm{tr}(B^k) = \mathrm{tr}(\Gamma^k) = \sum_{j=1}^n \mu_j^k

が成り立つ。

したがって条件 \( \mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k) \)（\( k=1,\ldots,n \)）は、固有値の冪和がすべて一致することを意味する。

冪和がすべて一致すれば、基本対称多項式の関係から、固有値の多重集合 \( \{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\} \) と \( \{\mu_1,\ldots,\mu_n\} \) は一致する。

よって、ある置換行列 \( P \) が存在して \( \Gamma = P^* \Lambda P \) と書ける。

このとき \( B = V P^* \Lambda P V^* \) であり、\( W = V P^* U^* \) とおけば \( W \) はユニタリ行列で \( B = W A W^* \) が成り立つ。

したがって \( A \) と \( B \) はユニタリ相似である。

逆に、\( A \) と \( B \) がユニタリ相似であれば、トレースはユニタリ相似変換で不変であるため、すべての \( k=1,\ldots,n \) に対して \( \mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k) \) が成り立つ。

以上より、正規行列 \( A,B \in M_n \) に対して、 \( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることと \( \mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k) \)（\( k=1,\ldots,n \)）が成り立つことは同値である。