2.5.P5
2.5.問題5
\(A \in M_n\) が斜エルミート（それぞれ、エルミート）であるとき、\(iA\) はエルミート（それぞれ、斜エルミート）であることを示せ。
ヒント
エルミート行列および斜エルミート行列の定義は、それぞれ \( A^{\ast} = A \)、\( A^{\ast} = -A \) で与えられる。行列の共役転置とスカラー倍の関係 \( (\alpha A)^{\ast} = \overline{\alpha} A^{\ast} \) を用いて考えるとよい。
解答例
まず、\( A \in M_n \) が斜エルミートであると仮定する。すなわち \( A^{\ast} = -A \) が成り立つ。
このとき、行列 \( iA \) の共役転置を計算すると、
(iA)^{\ast} = \overline{i} A^{\ast} = (-i)(-A) = iA
となる。したがって \( (iA)^{\ast} = iA \) であり、\( iA \) はエルミート行列である。
次に、\( A \) がエルミート、すなわち \( A^{\ast} = A \) であると仮定する。
同様に \( iA \) の共役転置を計算すると、
(iA)^{\ast} = \overline{i} A^{\ast} = (-i)A = -iA
が成り立つ。これは \( (iA)^{\ast} = -\,iA \) を意味する。
したがって \( iA \) は斜エルミート行列である。
以上より、\( A \) が斜エルミート（それぞれエルミート）であるとき、\( iA \) はエルミート（それぞれ斜エルミート）であることが示された。
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