[行列解析2.5.P45]可換な実対称行列族の同時対角化

2.5.P45

2.5.問題45

\( N \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を可換な実対称行列族とする。

このとき、単一の実直交行列 \( Q \) が存在して、すべての \( A \in N \) に対して \( Q^{\top}AQ \) が対角行列になることを示せ。

実対称行列は実直交行列によって対角化できることを用いる。さらに、可換性 \( AB=BA \) から、ある行列の固有空間が他の行列によって不変になることに注目する。帰納法により、同一の直交基底で同時に対角化できることを示す。

\(N \subseteq M_n(\mathbb{R})\) を可換な実対称行列族とする。まず \(A_1 \in N\) を一つ取る。\(A_1\) は実対称行列であるから、ある実直交行列 \(Q_1\) が存在して

Q_1^{\top} A_1 Q_1 = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

と対角化できる。ここで固有値ごとの固有空間に分解する。

任意の \(B \in N\) について、可換性 \(A_1B=BA_1\) が成り立つ。したがって \(A_1\) の各固有空間は \(B\) によって不変である。よって、各固有空間上で \(B\) は実対称行列として作用する。

各固有空間の次元は \(n\) 未満であるから、同様の議論を各固有空間上で繰り返すことにより、そこでも同時に直交対角化できる。これをすべての固有空間について行い、それらを合わせることで、単一の実直交行列 \(Q\) が存在して、すべての \(A \in N\) に対して

Q^{\top} A Q

が対角行列となる。

以上より、可換な実対称行列族 \(N\) は単一の実直交行列によって同時に対角化できることが示された。