[行列解析2.5.P43]

2.5.問題43

2.5.P43

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正規行列とする。

\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \) と分割し、各 \( A_{ii} \) は正方行列とする。

もし \( A \) の固有値が \( A_{11}, A_{22}, \ldots, A_{kk} \) の固有値で（重複度を含めて）与えられるならば、例えば \( p_A(t) = p_{A_{11}}(t)\cdots p_{A_{kk}}(t) \) と書ける。

このとき \( A \) はブロック対角行列であり、すなわち \( i \neq j \) のとき \( A_{ij} = 0 \) で、各対角ブロック \( A_{ii} \) は正規であることを示せ。

もし \( A \) の各対角成分 \( a_{ii} \) が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。

\( n=2 \) の場合、主対角成分の一方が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。