[行列解析2.5]問題集１

2.5問題集１

2.5.P1 \(A \in M_n\) が正規であることと、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) について \((Ax)^{*}(Ax) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}x)\)、すなわち \(\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2}\) が成り立つことは同値であることを示せ。

\lVert Ax \rVert^{2} = \lVert A^{*}x \rVert^{2} \quad (\forall\, x \in \mathbb{C}^{n})

2.5.P2 正規行列がユニタリであることと、そのすべての固有値の絶対値が 1 であることは同値であることを示せ。

2.5.P3 正規行列がエルミート（Hermitian）であることと、そのすべての固有値が実数であることは同値であることを示せ。

2.5.P4 正規行列が斜エルミート（skew Hermitian）であることと、そのすべての固有値が純虚数（実部が 0）であることは同値であることを示せ。

2.5.P5 \(A \in M_n\) が斜エルミート（それぞれ、エルミート）であるとき、\(iA\) はエルミート（それぞれ、斜エルミート）であることを示せ。

2.5.P6 \(A \in M_n\) が正規であることと、互いに異なる固有値をもつある正規行列と可換であることは同値であることを示せ。

2.5.P7 可逆な \(B \in M_n\) に対して \(A = B^{-1}B^{*}\) という形の行列 \(A \in M_n\) を考える（(2.1.9)参照）。(a) \(A\) がユニタリであることと \(B\) が正規であることは同値であることを示せ。 (b) もし \(B = H N H\) の形で、\(N\) は正規、\(H\) はエルミート（いずれも可逆）であるなら、\(A\) はあるユニタリ行列に相似であることを示せ。

2.5.P8 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（ここで \(H(A), K(A)\) はエルミート；(0.2.5) 参照）と表す。\(A\) が正規であることと、\(H(A)\) と \(K(A)\) が可換であることは同値であることを示せ。

2.5.P9 \(A \in M_n\) を \(A = H(A) + i\,K(A)\)（\(H(A), K(A)\) はエルミート）と表す。もし \(H(A)\) のあらゆる固有ベクトルが \(K(A)\) の固有ベクトルでもあるなら、\(A\) は正規であることを示せ。逆はどうか。

次の \(A\) を考えよ。

A = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}.

2.5.P10 \(A, B \in M_n\) がともに正規であるとする。もし \(A\) と \(B\) が可換なら、\(AB\) および \(A \pm B\) はいずれも正規であることを示せ。逆はどうか。次の例を確かめよ。行列 \(A, B, AB, BA\) はいずれも正規だが、\(A\) と \(B\) は可換ではない。

A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\[2pt] 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\[2pt] 1 & 1 \end{bmatrix}.

2.5.P11 任意の複素数 \(z \in \mathbb{C}\) に対し、\(\overline{z} = e^{i\theta} z\) かつ \(|z| = e^{i\tau} z\) を満たす \(\theta, \tau \in \mathbb{R}\) が存在することを示せ。なお、\([e^{i\theta}] \in M_1\) はユニタリ行列である。対角ユニタリ行列 \(U \in M_n\) はどのような形になるか。

\overline{z} = e^{i\theta} z, \qquad |z| = e^{i\tau} z.

2.5.P12 (2.5.P11) を一般化して、もし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}) \in M_{n}\) なら、対角ユニタリ行列 \(U, V\) が存在して、\(\overline{\Lambda} = U \Lambda = \Lambda U\)、および \(|\Lambda| = \mathrm{diag}(|\lambda_{1}|, \ldots, |\lambda_{n}|) = V \Lambda = \Lambda V\) となることを示せ。

2.5.P13 (2.5.P12) を用いて、\(A \in M_{n}\) が正規であることと、あるユニタリ行列 \(V \in M_{n}\) が存在して \(A^{*} = AV\) となることは同値であることを示せ。この事実から、\(A\) が正規なら \(\mathrm{range}(A) = \mathrm{range}(A^{*})\) であることを導け。

2.5.P14 実行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) が与えられたとする。このとき、\(A\) が正規であり、かつ固有値がすべて実数であることと、\(A\) が対称行列であることは同値である理由を説明せよ。

2.5.P15 2つの正規行列が相似であることと、それらが同じ特性多項式をもつことは同値であることを示せ。正規行列であるという仮定を取り除いた場合、この命題は成り立つかどうかを考察せよ。次の例を考えよ。

\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

2.5.P16 \(U, V, \Lambda \in M_{n}\) で \(U, V\) がユニタリなら、\(U \Lambda U^{*}\) と \(V \Lambda V^{*}\) はユニタリに相似であることを示せ。ここから、2つの正規行列が相似であることとユニタリ相似であることは同値であることを導け。さらに、相似ではあるがユニタリ相似ではない2つの対角化可能行列の例を与えよ。

2.5.P17 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(p(t)\) が与えられた多項式であるとする。(2.5.1) を用いて \(p(A)\) が正規であることを示せ。また (2.5.3) を用いた別の証明を与えよ。

2.5.P18 \(A \in M_{n}\) に対し、ある零でない多項式 \(p(t)\) が存在して \(p(A)\) が正規であるとする。このとき \(A\) 自身が正規であることは従うか。

2.5.P19 \(A \in M_{n}\) と \(a \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。(2.5.1) の定義を用いて、\(A\) が正規であることと \(A + aI\) が正規であることは同値であることを示せ。ただしスペクトル定理 (2.5.3) を用いてはならない。

2.5.P20 \(A \in M_{n}\) が正規であり、\(x \in \mathbb{C}^{n}\) が固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルであるとする。(2.5.P1) および (2.5.P19) を用いて、\(x\) が同じ固有値 \(\lambda\) に対応する左固有ベクトルでもあることを示せ。

2.5.P21 \(A \in M_{n}\) が正規であるとする。このとき、\(Ax = 0 \iff A^{*}x = 0\)、すなわち \(A\) の零空間は \(A^{*}\) の零空間と一致することを示せ。一方、非正規行列では必ずしも一致しないことを次の例で確かめよ。

B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

2.5.P22 (2.5.6) を用いて、複素エルミート行列の特性多項式は実係数をもつことを示せ。

2.5.P23 次の2つの行列はどちらも対称であるが、一方は正規であり他方は正規ではないことを示せ。これは実対称行列と複素対称行列の重要な違いである。

\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} i & i \\ i & -1 \end{bmatrix}.

2.5.P24 \(A \in M_{n}\) が正規かつ冪零ならば、\(A = 0\) であることを示せ。

2.5.P25 \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) が正規であり、\(X \in M_{n,m}\) が与えられたとする。このとき \(\overline{B}\) が正規である理由を説明し、次が成り立つことを示せ。

AX = X \overline{B} \iff A^{*}X = X B^{T}.

2.5.P26 \(A \in M_{n}\) が与えられたとする。

(a) ある多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) ならば、\(A\) は正規であることを示せ。

(b) \(A\) が正規なら、次数が最大で \(n-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) となることを示せ。

(d) \(A\) が正規なら、実係数で次数が最大 \(2n-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) となることを示せ。

(e) \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) がともに正規なら、次数が最大 \(n+m-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\)、かつ \(B^{*} = p(B)\) となることを示せ。

(f) \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) がともに正規なら、実係数で次数が最大 \(2n+2m-1\) の多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\)、かつ \(B^{*} = p(B)\) となることを示せ。

(g) (e) と (2.4.4.0) を用いて、Fuglede–Putnam の定理 (2.5.16) を証明せよ。

(h) (f) を用いて (2.5.P25) の主張を証明せよ。

2.5.P27 (a) \(A, B \in M_{n,m}\) とする。もし \(AB^{*}\) と \(B^{*}A\) がともに正規なら、\(BA^{*}A = AA^{*}B\) であることを示せ。
(b) \(A \in M_{n}\) とする。このとき \(A \overline{A}\) が正規（このような行列を合同正規という）であることと、\(AA^{*}A^{T} = A^{T}A^{*}A\) が成り立つことは同値であることを示せ。
(c) \(A \in M_{n}\) が合同正規なら、\(A \overline{A}, A^{*}A, AA^{*}\) の3つの正規行列は可換し、したがって同時にユニタリ対角化可能であることを示せ。

2.5.P28 エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) が与えられ、\(AB\) が正規であると仮定する。
(a) なぜ \(BA\) も正規なのかを説明せよ。
(b) \(A\) が \(B^{2}\) と可換し、\(B\) が \(A^{2}\) と可換することを示せ。
(c) 多項式 \(p(t)\) が存在して \(A = p(A^{2})\) または \(B = p(B^{2})\) が成り立つなら、\(A\) と \(B\) は可換し、さらに \(AB\) は実際にはエルミートであることを示せ。
(d) (c) の条件が、非零固有値 \(\lambda\) に対して \(-\lambda\) が固有値ではないという性質を \(A\) または \(B\) が満たすとき成立する理由を説明せよ。たとえば、\(A\) または \(B\) がすべての固有値を非負に持つ場合、この条件は満たされる。(d) 次の例を考察せよ。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix}.

2.5.P29 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2}\) とし、\(bc \neq 0\) と仮定する。
(a) \(A\) が正規であることと、ある \(\theta \in \mathbb{R}\) が存在して \(c = e^{i\theta}b\) かつ \(a - d = e^{i\theta} b (\overline{a} - \overline{d})/\overline{b}\) が成り立つことは同値であることを示せ。特に、\(A\) が正規なら \(|c| = |b|\) でなければならない。
(b) \(b = |b| e^{i\varphi}\) とする。もし \(A\) が正規で \(c = b e^{i\theta}\) なら、\(e^{-i(\varphi + \theta/2)}(A - aI)\) がエルミートであることを示せ。逆に、ある \(\gamma \in \mathbb{C}\) が存在して \(A - \gamma I\) が本質的にエルミートであるなら、\(A\) は正規であることを示せ。
(c) \(A\) が実行列なら、(a) より次が成り立つことを導け：\(A\) が正規であることと、\(c = b\)（すなわち \(A = A^{T}\)）または \(c = -b\) かつ \(a = d\)（すなわち \(AA^{T} = (a^{2} + b^{2})I\)、かつ \(a = 0\) の場合 \(A = -A^{T}\)）であることは同値である。

2.5.P30 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) について次が成り立つことと \(A\) が正規であることは同値であることを示せ：

(Ax)^{*}(Ay) = (A^{*}x)^{*}(A^{*}y).

\(A, x, y\) が実ベクトルのとき、この条件は「\(Ax\) と \(Ay\) のなす角が、常に \(A^{T}x\) と \(A^{T}y\) のなす角と等しい」ことを意味する。(2.5.P1) と比較せよ。標準基底ベクトル \(x = e_{i}, y = e_{j}\) をとった場合、この条件は何を意味するか。もし \((Ae_{i})^{*}(Ae_{j}) = (A^{*}e_{i})^{*}(A^{*}e_{j})\) がすべての \(i, j = 1, \ldots, n\) に対して成り立つなら、\(A\) が正規であることを示せ。

2.5.P31 実正規行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\)、すなわち \(AA^{T} = A^{T}A\) とする。もし \(AA^{T}\) が \(n\) 個の異なる固有値をもつなら、\(A\) は対称行列であることを示せ。

2.5.P32 実直交行列 \(A \in M_{3}(\mathbb{R})\) を考える。このとき \(A\) は1つまたは3つの実固有値をもつ。もし \(\det(A) \gt 0\) なら、(2.5.11) を用いて \(A\) が \([1] \in M_{1}\) と平面回転の直和に直交相似であることを示せ。これは \(\mathbb{R}^{3}\) において、原点を通るある固定された軸のまわりの角度 \(\theta\) の回転を意味する。この事実は力学におけるオイラーの定理の一部であり、「剛体の運動は並進とある軸のまわりの回転の合成で表される」というものである。

2.5.P33 \(F \subseteq M_{n}\) が可換な正規行列族であるとする。このとき1つのエルミート行列 \(B\) が存在し、各 \(A_{\alpha} \in F\) に対して次数高々 \(n-1\) の多項式 \(p_{\alpha}(t)\) が存在して \(A_{\alpha} = p_{\alpha}(B)\) が成り立つことを示せ。ここで \(B\) は \(F\) 全体に共通だが、多項式は元ごとに異なる可能性がある。

2.5.P34 \(A \in M_{n}\)、零でないベクトル \(x \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。もし \(x\) が \(A\) の右固有ベクトルかつ左固有ベクトルであるとき、\(x\) を \(A\) の正規固有ベクトルと呼ぶ。
(a) \(Ax = \lambda x, \, x^{*}A = \mu x^{*}\) なら \(\lambda = \mu\) であることを示せ。
(b) \(x\) が固有値 \(\lambda\) に対応する正規固有ベクトルなら、\(A\) が \([\lambda] \oplus A_{1}\) にユニタリ相似であり、ここで \(A_{1} \in M_{n-1}\) は上三角行列であることを示せ。
(c) \(A\) が正規であることと、すべての固有ベクトルが正規固有ベクトルであることは同値であることを示せ。

2.5.P35 零でないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。
(a) \(xx^{*} = yy^{*}\) であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^{i\theta} y\) であることは同値であることを示せ。
(b) 階数1の行列 \(A = xy^{*}\) に対し、次の条件が同値であることを示せ： (i) \(A\) が正規である。 (ii) ある正の実数 \(r\) と \(\theta \in [0, 2\pi)\) が存在して \(x = r e^{i\theta} y\) である。 (iii) \(A\) が本質的にエルミートである。

2.5.P36 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、

\begin{bmatrix} A & A^{*} \\ A^{*} & A \end{bmatrix} \in M_{2n}

が正規であることを示せ。したがって、任意の正方行列は正規行列の主小行列になりうる（すなわち、任意の \(A \in M_{n}\) は正規行列への拡大をもつ）。任意の正方行列はエルミート行列の主小行列になれるか？ユニタリ行列の主小行列になれるか？

2.5.P37 \(n \geq 2\) とし、

A = \begin{bmatrix} a & x^{*} \\ y & B \end{bmatrix} \in M_{n},

ただし \(B \in M_{n-1}, x, y \in \mathbb{C}^{n-1}\) であり、\(A\) は正規とする。
(a) \(\|x\|^{2} = \|y\|^{2}\) かつ \(xx^{*} - yy^{*} = BB^{*} - B^{*}B\) であることを示せ。
(b) 任意の正方複素行列 \(F\) に対して \(\mathrm{rank}(FF^{*} - F^{*}F) \neq 1\) である理由を説明せよ。
(c) 次の2つの排他的可能性がある理由を説明せよ： (i) 主小行列 \(B\) が正規であるか、(ii) \(\mathrm{rank}(BB^{*} - B^{*}B) = 2\)。
(d) \(B\) が正規であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^{i\theta}y\) であることは同値であることを説明せよ。
(e) 次の例を考察せよ：

B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{bmatrix}, \quad a = 1 - \sqrt{2}.

2.5.P38 \(A = [a_{ij}] \in M_{n}\)、\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。
(a) \(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。
(b) \(A\) が正規であることと \(A\) が \(C\) と可換することは同値であることを示せ。
(c) \(\mathrm{rank}(C) \neq 1\) であることを示せ。
(d) \(A\) が正規であることと \(\mathrm{rank}(C) \leq 1\) であることは同値である、すなわち可能性は2つしかない：\(\mathrm{rank}(C) = 0\)（このとき \(A\) は正規）、または \(\mathrm{rank}(C) \geq 2\)（このとき \(A\) は非正規）。このとき \(\mathrm{rank}(C) = 2\) の場合、\(A\) を「ほぼ正規」と呼ぶ。
(d) \(A\) が三重対角テプリッツ行列であるとする。このとき

C = \mathrm{diag}(\alpha, 0, \ldots, 0, -\alpha), \quad \alpha = |a_{12}|^{2} - |a_{21}|^{2}.

となることを示せ。したがって \(A\) が正規であることと \(|a_{12}| = |a_{21}|\) であることは同値であり、そうでない場合 \(A\) はほぼ正規である。

2.5.P39 \(U \in M_{n}\) がユニタリとする。このときすべての固有値の絶対値は1である。
(a) \(U\) が対称なら、その固有値は (2.5.19.1) の表現を（対角成分の順列を除いて）一意に定めることを示せ。
(b) \(U\) が歪対称なら、(2.5.19.2) の中の係数 \(e^{i\theta_{j}}\) が固有値とどう関係しているかを説明せよ。なぜ \(U\) の固有値は \(\pm\) のペアで現れなければならないのかを示せ。そして固有値が (2.5.19.2) の表現を直和成分の順列を除いて一意に定めることを示せ。

2.5.P40 \( A = \begin{bmatrix}0 & B \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in M_4 \)、ただし \( B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\end{bmatrix} \) とする。このとき、\( A \) は \( A^T \) と可換であり、また \( \overline{A} \) とも可換であるが、\( A^* \) とは可換でないことを確認せよ。したがって \( A \) は正規行列ではない。

2.5.P41 \( z \in \mathbb{C}^n \) を非零ベクトルとし、\( z = x + iy \) と書く。ただし \( x, y \in \mathbb{R}^n \) である。(a) 次の3つの命題が同値であることを示せ: (1) \(\{z, \overline{z}\}\) が線形従属である。 (2) \(\{x, y\}\) が線形従属である。 (3) 単位ベクトル \( u \in \mathbb{R}^n \) と非零 \( c \in \mathbb{C} \) が存在して \( z = cu \) となる。(b) 次の命題が同値であることを示せ: (1) \(\{z, \overline{z}\}\) が線形独立である。 (2) \(\{x, y\}\) が線形独立である。 (3) 実直交ベクトル \( v, w \in \mathbb{R}^n \) が存在して、\(\mathrm{span}\{z, \overline{z}\} = \mathrm{span}\{v, w\}\) （\(\mathbb{C}\) 上）となる。

2.5.P42 \( A, B \in M_n \) とし、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を \( A \) の固有値とする。次で定義される量

\delta(A) = \mathrm{tr}(A^*A) - \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2

を \( A \) の正規性からの欠陥（defect）と呼ぶ。Schurの不等式 (2.3.2a) により \(\delta(A) \geq 0\) が成り立ち、また (2.5.3)(c) により \( A \) が正規であることと \(\delta(A) = 0\) が同値である。(a) \( A, B, AB \) が正規ならば、 \(\mathrm{tr}((AB)^*(AB)) = \mathrm{tr}((BA)^*(BA))\) が成り立ち、このことから \( BA \) も正規であることを説明せよ。(b) \( A \) が正規であり、\( A \) と \( B \) が同じ特性多項式を持ち、さらに \(\mathrm{tr}(A^*A) = \mathrm{tr}(B^*B)\) であると仮定する。このとき \( B \) も正規であり、かつ \( A \) とユニタリ相似であることを示せ。(2.5.P15 と比較せよ)。

2.5.P43 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正規行列とする。(a) \( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \) と分割し、各 \( A_{ii} \) は正方行列とする。もし \( A \) の固有値が \( A_{11}, A_{22}, \ldots, A_{kk} \) の固有値で（重複度を含めて）与えられるならば、例えば \( p_A(t) = p_{A_{11}}(t)\cdots p_{A_{kk}}(t) \) と書ける。このとき \( A \) はブロック対角行列であり、すなわち \( i \neq j \) のとき \( A_{ij} = 0 \) で、各対角ブロック \( A_{ii} \) は正規であることを示せ。(b) もし \( A \) の各対角成分 \( a_{ii} \) が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。(c) \( n=2 \) の場合、主対角成分の一方が \( A \) の固有値であるなら、\( A \) は対角行列であることを説明せよ。

2.5.P44 (a) \( A \in M_n \) がエルミート行列であることと \(\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A^*A)\) が同値であることを示せ。(b) エルミート行列 \( A, B \in M_n \) が可換であることと \(\mathrm{tr}((AB)^2) = \mathrm{tr}(A^2B^2)\) が同値であることを示せ。

2.5.P45 \( N \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を可換な実対称行列族とする。このとき、単一の実直交行列 \( Q \) が存在して、すべての \( A \in N \) に対して \( Q^TAQ \) が対角行列になることを示せ。

2.5.P46 (2.3.1) を用いて、実行列の非実固有値は必ず複素共役のペアで現れることを示せ。

2.5.P47 \( A \in M_n \) が正規行列で、固有値が \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) であるとする。このとき次を示せ: (a) \(\mathrm{adj}(A)\) は正規であり、その固有値は \(\prod_{j \neq i} \lambda_j \ (i=1,\ldots,n)\) である。(b) \( A \) がエルミートなら \(\mathrm{adj}(A)\) もエルミートである。(c) \( A \) が正の固有値（あるいは非負の固有値）を持つなら、\(\mathrm{adj}(A)\) も正の固有値（あるいは非負の固有値）を持つ。(d) \( A \) がユニタリなら \(\mathrm{adj}(A)\) もユニタリである。

2.5.P48 \( A \in M_n \) が正規行列で \(\mathrm{rank}(A) = r > 0\) とする。(2.5.3) を用いて \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。ただし \( U \in M_n \) はユニタリ行列、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n-r}\) は対角行列である。(a) \(\det \Lambda_r \neq 0\) であることを説明せよ。さらに \(\det \Lambda_r = |\det \Lambda_r| e^{i\theta}, \ \theta \in [0,2\pi)\) と書け。(b) \( U = [V \ U_2] \) と分割し、\( V \in M_{n,r} \) とする。このとき \( A = V \Lambda_r V^* \) であることを示せ。これは \( A \) の full-rank factorization である。(c) インデックス集合 \(\alpha, \beta \subseteq \{1,\ldots,n\}\) で \(|\alpha|=|\beta|=r\) とするとき、\( V[\alpha, \emptyset^c] = V_\alpha \) とおく。このとき次を説明せよ: \( A[\alpha,\beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^* \)、\(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha,\beta]\det A[\beta,\alpha]\)、そして \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\)。 (d) \( A \) のサイズ \( r \) の主小行列式は複素平面上の半直線 \(\{se^{i\theta} : s \geq 0\}\) 上にあり、少なくとも1つは零でないことを説明せよ。(e) このことから \( A \) が rank principal であることを結論せよ。エルミート行列の場合の類似結果については (4.2.P30) を参照せよ。また (3.1.P20) も参照せよ。

2.5.P49 \( A \in M_n \) が上三角で対角化可能であると仮定する。このとき、上三角行列による相似変換によって対角化できることを示せ。

2.5.P50 反転行列 \( K_n \) (0.9.5.1) は実対称である。さらに実直交行列でもあることを確認せよ。その固有値が ±1 であることを説明せよ。また、\( n \) が偶数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 0\)、\( n \) が奇数のとき \(\mathrm{tr}(K_n) = 1\) であることを確認せよ。さらに、\( n \) が偶数なら固有値は ±1 がそれぞれ重複度 \( n/2 \) を持ち、\( n \) が奇数なら固有値 +1 の重複度は \((n+1)/2\)、−1 の重複度は \((n-1)/2\) であることを説明せよ。