2.4.P21
2.4.問題21
\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。
ハンケル行列
K = [\operatorname{tr} A^{i+j-2}]_{i,j=1}^n
は \( A \) に対応するモーメント行列である。常に \( A^0 = I \) とし、\( \operatorname{tr} A^0 = n \) とする。
1. \( V \in \mathbb{M}_n \) をファンデルモンド行列（(0.9.11.1)参照）とし、各列は
[1, \lambda_j, \lambda_j^2, \ldots, \lambda_j^{n-1}]^T, \quad j=1,\ldots,n
であるとき、次を示せ。
K = V V^T
2. \( \det K = (\det V)^2 = \prod_{i<j} (\lambda_j - \lambda_i)^2 \) であることを説明せよ。この積は \( A \) の判別式である。
3. \( A \) の固有値がすべて異なることと、モーメント行列 \( K \) が正則（非特異）であることは同値であることを結論づけよ。
4. \( K \)（ゆえに \( A \) の判別式）は \( A \) の相似変換に不変である理由を説明せよ。
5. 2×2行列
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2
のモーメント行列の行列式を計算し、(1.2.4b)の演習で計算した \( A \) の判別式と一致することを確認せよ。
6. 以下の実行列
A = \begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
0 & 0 & c \\
d & -e & 0
\end{pmatrix}
\quad (a,b,c,d,e > 0)
のモーメント行列は
K = \\
\begin{pmatrix}
3 & a & a^2 - 2ce \\
a & a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d \\
a^2 - 2ce & a^3 + 3 b c d & a^4 + 4 b d a c + 2 e^2 c^2
\end{pmatrix}
行列式は
\det K \\ = -27 b^2 c^2 d^2 - 4 c^3 e^3 - 4 a^4 c e \\ \quad - 8 a^2 c^2 e^2 - 4 a^3 b c d - 36 a b c^2 d e
であり、\( A \) は常に3つの異なる固有値を持つことを説明せよ。
ヒント
固有値 \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) を用いてトレース \( \operatorname{tr} A^k \) を表すと、和の形で整理できる。
ファンデルモンド行列の積としてモーメント行列を書き直すことで、行列式や正則性が固有値の重複とどのように関係するかが明確になる。
解答例
１． \( A \) の固有値を \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) とすると、任意の自然数 \( k \) に対して \( \operatorname{tr} A^k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k \) が成り立つ。したがって、モーメント行列の成分は \( K_{ij} = \operatorname{tr} A^{i+j-2} = \sum_{k=1}^n \lambda_k^{\,i-1}\lambda_k^{\,j-1} \) である。
一方、ファンデルモンド行列 \( V \) の第 \( j \) 列は \( [1,\lambda_j,\lambda_j^2,\ldots,\lambda_j^{n-1}]^T \) であるから、行列積 \( V V^T \) の \( (i,j) \) 成分は \( \sum_{k=1}^n \lambda_k^{\,i-1}\lambda_k^{\,j-1} \) となる。よって \( K = V V^T \) が示される。
２． 行列式については
\det K = \det(VV^T) = (\det V)^2
である。ファンデルモンド行列の行列式は ( \det V = \prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i) ) であるから
\det K = \prod_{i \le j}(\lambda_j-\lambda_i)^2となる。
３． この積は \( A \) の固有値の判別式である。 判別式が0でない(モーメント行列Kが正則である)事と、固有値がすべて異なることとは同値である。
４． 相似変換 \( B = S^{-1}AS \) に対して \( \operatorname{tr} B^k = \operatorname{tr} A^k \) が成り立つ。したがって定義よりモーメント行列の各成分は不変であり、\( K \) およびその行列式、すなわち判別式も相似変換に不変である。
５． \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) に対し、\( \operatorname{tr} A = a+d \)、\( \operatorname{tr} A^2 = a^2+2bc+d^2 \) である。よって
K=\begin{pmatrix}
2 & a+d \\
a+d & a^2+2bc+d^2
\end{pmatrix}
となり、
\det K = (a-d)^2+4bc
を得る。これは (1.2.4b)の演習で計算した\( A \) の固有値の判別式と一致する。
６． 与えられた 3×3 行列について計算すると、問題文に示されたモーメント行列 \( K \) を得る。その行列式は
\det K = -27 b^2 c^2 d^2 - 4 c^3 e^3 - 4 a^4 c e - 8 a^2 c^2 e^2 - 4 a^3 b c d - 36 a b c^2 d e
であり、\( a,b,c,d,e>0 \) のもとでは負で 0 にならない。したがって判別式は常に非零であり、\( A \) は常に 3 つの異なる固有値をもつ。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント